等比数列的概念及通项公式

第1课时等比数列的概念及通项公式复习回顾等差数列概念通项公式求和公式相关性质最值问题带绝对值求和实际问题学习目标XUEXIMUBIAO1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.......1618141211，，，，，,......32,16,8,4,2,1,......20,20,20,20,20,15432共同特点:从第二项起，每一项与其前一项的比是同一个常数对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于__;①②③对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于__;对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于__;22120类比“等差数列”，这样的数列可以叫做“等比数列”。请问:这三个数列有什么共同特点?知识点一等比数列的概念1.定义：如果一个数列从第项起，每一项与它的一项的等于常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用字母q表示(q≠0).2.递推公式形式的定义：anan－1＝q(n1)或an＋1an＝q，n∈N*.3.等比数列各项均为0.2前比同一公比不能判断一个数列是否为等比数列的依据知识点二等比中项与等差中项的异同对比项等差中项等比中项定义若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项若a，G，b成数列，则G叫做a与b的中项定义式A－a＝b－A公式A＝G＝±个数a与b的等差中项唯一a与b的等比中项有个，且互为______备注任意两个数a与b都有等差中项只有当ab＞0时，a与b才有等比中项等比等比Ga＝bGa＋b2ab两相反数qaa12qqa)(1qaa2321qaqqa)(21qaa3431qa……11-nnqaadaa12dda)(1daa23da21dda)2(1daa34da31……类比dnaan)1(1-3.等比数列的通项公式：等差数列等比数列归纳法思考：如何用和表示？1aqna2,1-nqaann2,1-ndaann累乘法qaa12qaa23qaa34……11-nnqaaqaann-1共n–1项×）等比数列方法：累加法daa-12daa-23daa-34……dnaan)1(1--daann--1+）等差数列类比思考：如何用和表示？3.等比数列的通项公式：11-nnqaa1aqna等比数列名称等差数列概念常数定义式通项公式中项公式dnaan)1(1-11-nnqaa从第2项起,每一项与它前一项的比等同一个非零常数从第2项起,每一项与它前一项的差等同一个常数22baAAba或abG2abG或公比0q公差Rd2,1-nqaann2,1--ndaann类比1.若an＋1＝qan，n∈N*，且q≠0，则{an}是等比数列.()2.任何两个数都有等比中项.()思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU3.等比数列1，12，14，18，…中，第10项为129.()√4.常数列既是等差数列，又是等比数列.()×××2题型探究PARTTWO题型一等比数列的判定命题角度1已知数列前若干项判断是否为等比数列例1判断下列数列是否为等比数列.(1)1，3，32，33，…，3n－1，…；多维探究解记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，….∵anan－1＝3n－13n－2＝3(n≥2，n∈N*)，∴数列为等比数列，且公比为3.(2)－1,1,2,4,8，…；解记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…，∵a2a1＝－1≠a3a2＝2，∴此数列不是等比数列.(3)a1，a2，a3，…，an，….解当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列；当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…，显然此数列为等比数列，且公比为a.反思感悟判定等比数列，要抓住3个要点：①从第二项起.②要判定每一项，不能有例外.③每一项与前一项的比是同一个常数，且不能为0.跟踪训练1下列各组数成等比数列的是①1，－2,4，－8；②－2，2，－22，4；③x，x2，x3，x4；④a－1，a－2，a－3，a－4.A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④√解析①②显然是等比数列；由于x可能为0，③不是；a不能为0，④符合等比数列定义，故④是.命题角度2已知递推公式判断是否为等比数列例2已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；证明∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1).由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.∴an＋1＋1an＋1＝2(n∈N*).∴数列{an＋1}是等比数列.(2)求数列{an}的通项公式.解由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列.∴an＋1＝2·2n－1＝2n.即an＝2n－1.反思感悟等比数列的判定方法(1)定义法：anan－1＝q(n≥2，q是不为0的常数)⇔{an}是公比为q的等比数列.(2)等比中项法：a2n＝an－1·an＋1(n≥2，an，an－1，an＋1均不为0)⇔{an}是等比数列.跟踪训练2数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…).(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；解a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.an＋1－n＋1an－n＝3an－2n＋1＋3－n＋1an－n＝3an－3nan－n＝3(n＝1,2,3，…).又a1－1＝－2，∴数列{an－n}是以－2为首项，3为公比的等比数列.(2)求数列{an}的通项公式.解由(1)知an－n＝－2·3n－1，∴an＝n－2·3n－1.题型二等比数列通项公式的应用例3在等比数列{an}中.(1)已知a2＝4，a5＝－12，求an；解设等比数列的公比为q，则a1q＝4，a1q4＝－12.解得a1＝－8，q＝－12.∴an＝a1qn－1＝(－8)－12n－1＝－12n－4.(2)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝12，求n.解设等比数列{an}的公比为q.∵a4＋a7＝a3q＋a6q＝(a3＋a6)q，∴q＝1836＝12.921)21(12812836115121-naaqaqann反思感悟等比数列通项公式及应用应注意两点(1)a1和q是等比数列的基本元素，只要求出这两个基本元素，其余的元素便可求出.(2)等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，知任意三个就可以求出另外一个.跟踪训练3在等比数列{an}中：(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；解由等比数列的通项公式得，a6＝3×(－2)6－1＝－96.(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.解设等比数列的公比为q，则a1q2＝20，a1q5＝160，解得q＝2，a1＝5.所以an＝a1qn－1＝5×2n－1，n∈N*.题型三：等比中项的应用的值求中，已知在等比数列65432543,8aaaaaaaaan例4跟踪训练4等于（）则中，比数列已知各项均为正数的等654987321,10,5aaaaaaaaaanA.5√2B.7C.6D.4√2A3达标检测PARTTHREE∴q＝－32.123451.等比数列{an}的公比|q|＞1，{an}中有连续四项在集合{－54，－24，－18,36,81}中.则q等于A.－12B.12C.－32D.32√解析∵{an}中的项必然有正有负，∴q0.又|q|＞1，∴{|an|}递增或递减.由此可得{an}的连续四项为－24,36，－54,81.123452.等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于A.－24B.0C.12D.24√解析由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第4项为－24.123453.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为A.4B.8C.6D.32√解析由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1，2n－1＝32，所以n＝6.123454.45和80的等比中项为.－60或60解析设45和80的等比中项为G，则G2＝45×80，∴G＝±60.123455.若{an}为等比数列，且3a4＝a6－2a5，则公比是.－1或3解析设公比为q(q≠0)，则3a1q3＝a1q5－2a1q4，因为a1q3≠0，所以q2－2q－3＝0，解得q＝－1或q＝3.课堂小结KETANGXIAOJIE1.等比数列的判断或证明(1)利用定义：an＋1an＝q(与n无关的常数).(2)利用等比中项：a2n＋1＝anan＋2(n∈N*，且数列各项均不为零).2.两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab)，而不是一个(ab)，这是容易忽视的地方.3.等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量.思考：等比数列的公比与该数列的类型有关系吗？知识点四等比数列的类型(1)数列：1，2，4，8，16，…(2)数列：,81,41,21,1,2,4,8(5)数列：4，4，4，4，4，4，4，…(3)数列：-1，-2，-4，-8，-16，…(4)数列：......81-41-211-2-4-8，，，，，，，-(6)数列：-1，2，-4，8，-16，…(7)数列：1，-2，4，-8，16，…已知数列{an}是等比数列，q是公比，则：q10q1q=1q0递增递减常数列递增递减a10a10摆动数列知识点四等比数列的类型