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大学物理（上）大学物理（上）总复习总复习第一部分第一部分第一部分力学力学质点运动学质点运动的类型描述质点运动的物理量运动描述的相对性vvv线量角量的类型的物理量BCCABAvvv对对对+=已知：质点运动学方。)()(ttrrθθ==、vv位矢线量角量角位置βω,,,,ravvvvΔ已知：质点运动学方。求：及轨迹方程等。解法：求导。)()(、dv2ddvvdθd速度位移角位移角速度trvddvv=22ddddtrtvav==tddθω=tddωβ=已知：及初值条件。β、av速度加速度角速度角加速度已知：及初值条件。求：解法：积分。β、a等。、、、θω)(trvvv∫+=21d)(0ttttavvvvv∫+=21d)(0ttttvrrvvv∫+=2d)(tttβωω∫+2d)(tttωθθ∫+=1d)(0tttβωω∫+=1d)(0tttωθθ一般曲线运动的描述角量描述角量描述)(tθθ=12θθθ−=Δtddθω=tddωβ=切向与法向加速度vad=v2ˆˆv角量与线量的关系tatd=Ran=tnaaanτ=+βωωRvaRvRaRvtn=====dd22角量与线量的关系βtRtnd质点动力学牛顿运动定律牛顿第一定律牛顿第二定律牛顿第三定律力的瞬时效应冲量力对空间的积累力对时间的积累角冲量功冲量动动动量角冲量角角动功功机械力力矩amtpFvvv==dd动能定理动量定理动量守恒定律动量定角动量守恒定律功能原理机械能守恒定律tLFrMddvvvv=×=理理定律定理律理律td质点系质点质点系质点质点及质点系动力学1t动量定理PtFIttvvvΔ=⋅=∫21d∫=Δ2dttMLvv角动量定理基本∫=Δ1dttML∑=ΔAEk角动量定理动能定理本原理非保内外AAE+=Δ功能原理理质点及质点系动力学2条件内容守恒动量守恒：0vv=合外F恒矢量=Pv条件内容恒定律角动量守恒：＝恒矢量Lv0vv=外M0=+内非保外AA量恒=E机械能守恒：律内非保外量恒机械能守恒：质点运动学平动刚动力学刚体力学动力学瞬时效应力矩定轴转动定律学瞬时效应时间积角冲量力矩定轴转动定律角动量定理刚体定轴转动时间积累效应角冲量角动量守恒定律轴转动空间积累效应力矩的功动能定理角量描述运动学刚体定轴转动运动学角量描述)(tθθ=12θθθ−=Δtddθω=tddωβ=vd角量与线量的关系tdtdβωRtvaRvt===dd匀变速圆周运动常量=β201tttβωθβωω+=Δ+=常量=β02ttβωθ+=Δ刚体定轴转动动力学βJM=刚体定轴转动定律β刚体定轴转动角动量原理tLMzzdd=∫=−=Δ21d1122ttzzzztMJJLωω刚体定轴转动角动量守恒定律常量。，则若ωJLM0常量。，则若===ωJLMzz0刚体定轴转动的动能定理2022121dωωθJJEMAk−=Δ==∫解题指导解导1、动力学部分习题一般分为四大类：第一类是牛顿第二定律的应用，主要是求解质点系中任一•第一类是牛顿第二定律的应用，主要是求解质点系中任一个质点所受的力和加速度•第二类问题是冲量和动量关系式的应用，主要用来求解质点系中任一个质点的速度、位移、冲量、动量增量。•第三类是功能关系式的应用，主要用来求解质点系中任一质点的速率、外力对质点系所作的功、非保守内力对质点质点的速率、外力对质点系所作的功、非保守内力对质点系的功、质点系势能表达式中的未知量等。•第四类是角动量分量守恒定律的应用。主要求质点系中任•第四类是角动量分量守恒定律的应用。主要求质点系中任一质点的速度。•第一类是牛顿第二定律的应用其解题步骤为：第一类是牛顿第二定律的应用其解题步骤为：•(1)隔离物体，使每个隔离物体可以视为质点。(2)受力分析。•(2)受力分析。•(3)选择坐标系。•(4)列运动方程，求解。•第二类问题是冲量和动量关系式的应用解题步骤是：•第二类问题是冲量和动量关系式的应用解题步骤是：•(1)选择所研究的质点系。•(2)确定所研究的过程以及过程的始末状态。•(3)根据过程中外力和所满足的条件确定所用的冲量和动(3)根据过程中外力和所满足的条件确定所用的冲量和动量关系式。(4)列方程，求解。•(4)列方程，求解。•第三类是功能关系式的应用具体的解题步骤为：•(1)选择所研究的质点系。•(1)选择所研究的质点系。•(2)确定所研究的过程以及过程的始末状态。•(3)根据过程中外力的功和非保守内力的功代数和所服从的条件确定所用的功能关系式。•(4)列方程，求解。•第四类是角动量分量守恒定律的应用具体的求解方法是：(1)、（2）同上。•(3)判断过程中对某点（或某轴）合外力矩是否为零，或者(3)判断过程中对某点（或某轴）合外力矩是否为零，或者角动量守恒条件是否成立。•(4)若守恒条件成立，确定正方向，列方程，求解(4)若守恒条件成立，确定正方向，列方程，求解•分解综合法：对于较为复杂问题，不是只用一个定理、定律就能解决，要将整个过程分解成几个子过程，对每一子过程就能解决，要将整个过程分解成几个子过程，对每一子过程应用上述方法。2、刚体的静力学问题∑=0iFv刚体静力学问题应注意刚体平衡时应满足两个条件刚体受合外力等于零∑=0iMv整个刚体受合外力矩等于零3、定轴转动的动力学问题刚体定轴转动的动力学问题，大致有三种类型题。其解题基本步骤归纳为：首先分析各物体所受力和力矩其解题基本步骤归纳为：首先分析各物体所受力和力矩情况，然后根据已知条件和所求物理量判断应选用的规律，最后列方程求解。律，最后列方程求解。•第一类：求刚体转动某瞬间的角加速度，一般应用应用转动转动定律定律求解求解。如质点和刚体组成的系统，对质点列牛顿运定律定律求解求解。如质点和刚体组成的系统，对质点列牛顿运动方程，对刚体列转动定律方程，再列角量和线量的关联方程，并联立求解。联方程，并联立求解。•第二类：求刚体与质点的碰撞、打击问题。把它们选作一个系统时，系统所受合外力矩常常等于零，所以系统角动个系统时，系统所受合外力矩常常等于零，所以系统角动量守恒。列方程时，注意系统始末状态的总角动量中各项的正负。对在有心力场作用下绕力心转动的质点问题，可直接用用角动量守恒定律角动量守恒定律。•第三类：在刚体所受的合外力矩不等于零时，比如木杆摆动，受重力矩作用，求最大摆角等一般应用刚体的转动动动动，受重力矩作用，求最大摆角等一般应用刚体的转动动动能定理能定理求解求解。对于仅受保守力矩作用的刚体转动问题，也可用机械能守恒定律求解。可用机械能守恒定律求解。V另外：实际问题中常常有多个复杂过程，要分成几个阶段进行分析，分别列出方程，进行求解。段进行分析，分别列出方程，进行求解。rvΔ注意区分：与ΔΔ与1rvo、rΔrrΔΔ与||vrrΔΔv与2rvotaav与taav与1、t与tvtvadd|dd|vrv==ttvaddvv=tvatdd=ttddtdtd例：质点在运动过程中：y1）是否变化？tvddvdv0vv变化不变2）是否变化？tvddoxθ3）的运动是什么运动？0|d|vv不变匀速直线运动3）的运动是什么运动？的运动是什么运动？0|d|=t0d=vv匀速直线运动匀速率运动dt匀速率运动2、质点的动量与动能：hh动量不同；动能相同。3、质点的动量与角动量：动量不同；动能相同。①作匀速直线运动的质点角动量是否一定为零？一定守恒？作匀速圆周运动的质点角动量是否一定守恒？②若把电子视为经典粒子，电子绕核作圆周运动时，电子的不一定为零；一定守恒；只对圆心角动量守恒。动量是否守恒？对圆心的角动量是否守恒？动量不守恒；对圆心的角动量守恒。例光滑水平桌面上有质量为的三角状物体，其左侧面的坡度为，上面压着质量为、表面光滑的物块；右侧1mαmm的坡度为，上面压着质量为、表面光滑的物块；右侧与水平的轻绳相连，该绳在粗糙的圆弧面（大于半圆）上，右端吊着质量为的滑轮，绳与弧面之间的摩擦系数为；α2m1m3mμ右端吊着质量为的滑轮，绳与弧面之间的摩擦系数为；滑轮上也跨有一轻绳，该绳的两端分别吊着质量为和的物体，绳与滑轮的边缘之间无摩擦。试问：水平绳中的张力和桌面向提供的支持力分别为多少？34mμ5m力和桌面向提供的支持力分别为多少？1m2m②1mα①②3m①③174m5m系统1：建立如图坐标系2m12NrFr系统1：ym1的运动方程：iTNα+建立如图坐标系2m1mα2mgr1T′ry11112sinxmaTNα=+11121cosymaFNmgα=−−的运动方程：1mα1T′rα2g21Nr1mgrOxm2的运动方程：2212sinxmaNα=−22122cosmaNmgα=−α22122cosymaNmgαm1受到水平桌面的约束，在竖直方向上无运动，约束方程为：10v=10ya=10yv1ym2受到m1的约束，约束方程为：21yyvv−21yyaa−2121tanyyxxvvα=−2121tanyyxxaaα=−18mNrFrsinmaTNα=+1m2m12NFy11112sinxmaTNα=+11121cosymaFNmgα=−−1α2mgrNr1T′r2212sinxmaNα=−22122cosmaNmgα=−21N1mgrOx22122cosymaNmgα10ya=2121tanyyaaaaα−=−由以上六式可得：2iF（）21xxaa21221cossincosxFmgmgmaααα=+−212121sincos(sin)xTmgmmgaααα=−+−（1）（2）1912121()xgg（2）TdT+rrNrfr系统2在绳上取一任意的线元，使之对应θdθNf在绳上取一任意的线元，使之对应于，受力分析如图所示。dθθθ+径向运动方程：dθTrsin()sin022ddNTTdTθθ−−+=横向运动方程：横向运动方程：()coscos022ddTdTTfθθ+−−=22忽略高阶无限小量，得：0NTdθ0dTffNμ0NTdθ−=0dTf−=fNμ=以上三式联立得：0dTdμθ−=Tμ利用初始条件，积分得：1TTeμθ=20所以221TTeμπ=（3）2T′r系统33m受力分析如图，并建立如图坐标系。3323maTTTmg′′′′=−−−T′T′′3mgry3323ymaTTTmg444ymaTmg′=−4mTrO555ymaTmg′′=−由于绳与动滑轮之间无摩擦，有5m4mgr5mgrO由于绳与动滑轮之间无摩擦，有TT′′′=由相对运动可知：4353()yyyyaaaa−=−−由以上五式可得：由以上五式可得：4532ymmaTgmmmmmm+=−++（4）21343545mmmmmm++21221cossincosxFmgmgmaααα=+−（1）1221xgg212121sincos(sin)xTmgmmgaααα=−+−（）（2）μπ221TTe=（3）4532mmaTg+=−（4）最后，m1和m3是通过一根不可伸长的绳子相互制约，因而有：323435454yaTgmmmmmm++（4）13xyaa=−（5）由（1）～（5）联立可得：()()()124512221122343545sin1sinsincos4mmmmTemmgmgmmmmmmπμαααα−⎡⎤+−⎡⎤=+−−⎢⎥⎣⎦++⎣⎦343545⎣⎦24521221cossincos4mmFmgmgmgTeπμααα⎡⎤+=+−−×⎢⎥++⎣⎦223435454mmmmmm⎢⎥++⎣⎦例质量为M，长为l的均匀细杆，可绕垂直于棒的一端的水平轴O无摩擦地转动。现有一质量为m的子弹以速度水平射入杆中。求：子弹与杆一起运动时的角速度ω及转过的最大角度θ？vvovvm解：第一阶段：取子弹与细杆为一个系统。在碰撞过程中，合外力不为零，而合外力矩Nvoθ在碰撞过程中，合外力不为零，而合外力矩为零。系统相对于O轴的角动量守恒。FvvvmωJlvmmvl+′=lvω=′gMvvlvω=第二阶段：系统绕O轴转动过程中，合外力不为零，且gM第二阶段：系统绕轴转动过程中，合外力不为零，且合外力矩也不为零，但只有重力作功，则系统的机械能守恒。)c