高等流体力学-第五讲

1北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第五讲扩散理论本讲主要内容一、基本概念二、描述扩散运动的基本运动方程三、扩散系数及其分析确定方法四、扩散运动的解析解五、岸边排放与中心排放污染带的计算2北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿一、基本概念1、扩散现象烟囱排烟；河流排污；水面蒸发；食糖与食盐的溶解等。2、传输过程流体中所含有物质（如各种污染物，也包括动量、能量和热量）在流场中某一处到另一处转移的过程。3、扩散（Diffusion）是一类传输过程，指物质由含量高处向含量低处的传输过程。（1）按扩散的机制可分为：分子扩散、对流传输扩散及紊动扩散。1）分子扩散（MolecularDiffusion）：由分子运动产生。2）紊动扩散（TurbulentDiffusion）：由流体质点的紊动产生的扩散。3）移流传输（Advection）：扩散物随同流体质点的时均运动而转移。第五讲扩散理论3北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第五讲扩散理论（2）按研究问题的类型分：1）剪切流中的离散（Dispersion）：由于剪切流中速度分布不均匀产生含有随流散开的作用，也称弥散。离散中包含有移流扩散和紊动扩散。2）射流扩散：指从各种排泄口喷出流入周围另一流体域内运动的一股流体。包括移流扩散和紊动掺混扩散。其中射入同种性质的流体内称淹没射流，射入不同性质的流体内为非淹没射流。按射流的原动力还可分为：动量射流、浮力羽流、浮射流。动量射流（Jets）：射流以出流的动量（Momentum）为原动力，该动量对射流运动起主要作用。浮力羽流（Plumes）：浮力（BouyancyForces）是原动力，产生的运动形态呈羽毛状。如烟气，水体中泄入污染液体后的运动等。浮射流（BuoyantJets）：原动力既有动量又有浮力。3）分层流（StratifiedFlowing）：在重力场中密度不均匀的流体形成有层次的流动。4北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第五讲扩散理论4、污水泄入河道中问题研究的阶段划分第一阶段：污水离开排污口与周围水体掺混，以射流和浮力羽流形式扩散，一般按三维运动问题处理；第二阶段：污水还没有扩展到河流全断面，污水随河水一起运动，按二维紊动离散问题研究；第三阶段：污水已扩展到河流全断面，并且全断面完全混合，污水沿纵向继续离散，可按一维纵向离散问题分析。5、扩散理论的基本假设（1）扩散质的存在不改变流体质点的流动特性。即将扩散质视为标志物质或称示踪剂（Tracer）。（2）流体质点上所带的扩散质在运动过程中保持不变，即流体质点间不发生扩散质的转移（不计分子扩散），扩散质的扩散完全是由于带有扩散质的流体质点发生掺混的结果。（3）对不可压流体，携带扩散质流体质点的总体积在扩散过程中保持不变，扩散结果反映在携带扩散质的流体质点所占空间位置和轮廓随时间而变化。5北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第五讲扩散理论二、描述扩散运动的基本方程1、分子扩散的费克定律（第一定律）费克（AdolphFick，1855）提出假设：盐分在其溶液中扩散的物理定律应等同于傅立叶（Fourier，1822）提出的热传导定律相同，即：其中：费克定律说明：在扩散溶液浓度场中的时空点上，单位时间内通过单位面积的扩散质的质量与该点处扩散溶液浓度的梯度成正比，比例系数为该种扩散溶液的分子扩散系数；方向与浓度梯度方向相反。分子扩散系数由扩散质及溶解质的种类、温度、压强决定，与溶液的运动形态无关，是物性参数。imxCDq—C扩散液的浓度；量纲：3ML—q在xi方向的单位面积的扩散质量通量；量纲：12TML—mD分子扩散系数；量纲：12TL常见扩散质在水中的扩散系数表对三维情况，以矢量表示：CDqm6北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第五讲扩散理论2、分子扩散方程（费克第二定律）分析分子扩散应满足的控制方程，以一维情况为例，流体静止。取控制体如图，由质量守恒定律，可得：dtxxqqdtqdttxC1)(1)1(0xqtC整理得：将费克第一定律代入，可得：22xCDtCm22xqDtqm或CDzCyCxCDtCmm2222222对三维情况：上述方程称之为分子扩散方程（DiffusionEquations）。7北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第五讲扩散理论3、移流扩散方程（AdvectiveDiffusionEquations）取控制体如图，以x1方向为例。假设：层流运动时溶液的扩散与流体静止时的分子扩散相同。由质量守恒定律，可得：dtdxdxqqdtdxqdxdttdxdxCdx3232321)()(1xxqq11xCDCuqm及21211)(xCDxCutCm整理可得：对三维流动：232222212332211)()()(xCxCxCDxCuxCuxCutCm8北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第五讲扩散理论4、紊动扩散方程对紊动扩散，瞬时浓度和流速都可分解时均值与脉动值之和，即：代入移流扩散方程后取时均值，有：仿照分子扩散系数的表示形式，引入紊动扩散系数Dij，令：紊动扩散方程可表示为（考虑源、汇项后）：iimiiiuCxCDxxCutCuuuCCC和iuC其中：是由紊动脉动量产生的沿i方向的质量扩散通量。jijixCDuCcjijimiiiFxCDxCDxxCutC9北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第五讲扩散理论紊动扩散质量通量与紊动扩散系数Dij（TurbulentDiffusionCoefficients）可用矩阵表示为：Dij应是空间坐标的函数，当选择坐标使其与二阶张量的主轴方向一致时，九个量中仅有三个主值，即：D11，D22，D33不为零。当满足各向同性条件下，有：321333231232221131211321xCxCxCDDDDDDDDDuCuCuCTDDDD332211iiTiixxCDxCutC2mTDD因为，分子扩散可忽略不计，紊动扩散方程为：10北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第五讲扩散理论三、扩散系数及其分析确定1、分子扩散系数与概率统计量间的关系（1）分子扩散方程的基本解问题：（考虑一维问题）在t=0时刻，坐标原点处（x=0）放置质量为M的扩散质，确定浓度沿x轴的扩散过程。22xCDtCm基本方程：求解方法：1）量纲分析相似解法；2）数理方程解法定解条件：由质量守恒，在任何时刻，有：MCdx或)(),(xMxC011北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第五讲扩散理论量纲分析相似解法量纲分析：C（x，t）必然与M、Dm和t有关，有量纲关系代入扩散方程，得：得出：分离变量法结果：)4(4)(4),(tDxftDMftDMtxCmmm02fddf20)(ecf再由定解条件确定系数c0。MCdx)4exp(4),(2tDxtDMtxCmmdtDxtDCtxCmm]4)(exp[4)0,(),(212北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第五讲扩散理论（2）分子扩散的随机游走分析确定分子游走的概率值：分子的自由程l，经过N次运动后行走X距离的概率。设在N次行走中，有p次沿x的正向，q次沿x的反向行走；每次行走是相互独立的。有：p+q=N；令:p–q=S，故有：X=Sl沿x的正向行走X距离的概率P为：利用Sterling公式：可推出：)]!1(2[)]!1(2[2!2)!!/(!NSNNSNNqpNPNN)2ln(21ln)21(!lnnnnnNSNP2exp2213北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第五讲扩散理论（3）分子扩散与分子随机游走概率密度间的关系令a为分子运动速度，t为分子运动N次所用时间，则有：随机游走概率可表示为：如令概率值分子落于[X，X+dX]间的概率为：atlXatlP2exp22lXSlatN/,/tNlalDm2212tDXtDlPmm4exp2lXtDXtDlPmm24exp214北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第五讲扩散理论可见概率密度：为扩散方程（M=1）的解。可见分子扩散方程的解满足标准差为的正态分布。分析结论：1）分子扩散的浓度可以用概率密度表示；2）分子扩散系数可由概率分布的方差确定，即：或积分得tDXtDXPmm4exp412tDm2dtdDm221)(2122122ttDm15北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第五讲扩散理论（4）分子扩散系数与方差的关系证明1）浓度分布各阶矩的定义2）浓度分布各阶矩与统计量间的关系dxtxxCM),(1一阶矩：dxtxCxM),(22二阶矩：dxtxCxMnn),(n阶矩：dxtxCM),(0零阶矩：：扩散质总质量浓度分布质量中心坐标——均值：01MMμ/浓度分布方差：2022021MMdxtxCxM/),()(取：0,0;110MM即可证明mDdtd2216北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第五讲扩散理论3）分子扩散系数与方差的关系证明扩散方程两边同乘x2后从-∞到+∞积分dxxCDxdxtCxm2222]2[22dxxCxxCxDdxCxdtdmmmDdxCxCxCxDdtd2]22[22上是说明：确定扩散系数可以从研究浓度分布的方差着手。17北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第五讲扩散理论2、紊动扩散系数Dt的分析假设紊动场均匀、各向同性，以一维为例阐述。（1）基本概念1）紊动扩散现象分析观测实验结果说明：浓度中心位置；浓度扩散分析；系综平均结果。2）扩散系数的物理解释两质点的相对扩散（系综平均）；单个质点的扩散（系综平均）。3）系综平均与时间平均——各态遍历特性扩散观测扩散现象图示两质点的相对扩散图示单个质点的扩散图示各态遍历图示18北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第五讲扩散理论（2）单个质点的紊动扩散——泰勒扩散理论泰勒（G.I.Taylor1921）研究了单个质点在平稳、各向同性的紊流场中的扩散问题。考虑一维情况下，设紊动速度为u，平均速度=0；在t时刻，紊动质点的坐标位置为X(t)，X(t)的时间平均值（系综平均值）：令开始记录的时间为t0，经过t时刻，质点所移动的距离为其时间平均平方值可表示为：ttdtutX0)()(0)(tXttdttuttX000)()(00000000022)()(1)(1)(dttdttutdttuTdtttXTtXTttTttTtdtddtttuttuT000000)()(119北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第五讲扩散理论)()()()()(200Rut