高考文科数学一轮复习抛物线

一轮复习讲义抛物线1．抛物线的概念平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的，定直线l叫做抛物线的．忆一忆知识要点相等焦点准线2．抛物线的标准方程与几何性质y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－py(p0)标准方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形要点梳理顶点O(0,0)对称轴x轴y轴焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦半径公式02xpPF02xpPF02ypPF02ypPF开口方向向右向左向上向下忆一忆知识要点要点梳理2.焦点弦(以抛物线y2＝2px(p＞0)为例)设AB是过焦点F的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝________；|AB|min＝________；x1·x2＝________；y1·y2＝________.pxx21p242p2p双基自测1．(人教A版教材习题改编)抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是()．A．1B．2C．4D．82．已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是()．A．x2＝－12yB．x2＝12yC．y2＝－12xD．y2＝12x3．(2011·陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程x＝－2，则抛物线的方程是()．A．y2＝－8xB．y2＝－4xC．y2＝8xD．y2＝4x4．(2012·西安月考)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()．A．4B．6C．8D．125.抛物线y＝ax2的焦点坐标是()A.a2，0B.0，a2C.0，14aD.0，－14a题型探究题型一抛物线定义的应用例1(1)已知点M(3,2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，点P在该抛物线上移动，当|PM|＋|PF|取最小值时，点P的坐标为________．(2)已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．不确定题型二求抛物线的标准方程例2求下列各抛物线的标准方程．(1)顶点在坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上一点Q(m，－3)到焦点的距离等于5;(2)顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过点M(－2，－4).变式根据下列条件求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；(2)过点P(2，－4)；(3)抛物线焦点在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.有关抛物线标准方程的问题，在审题时一般是一看轴，二看开口方向．平时要注意审题的规范性．抛物线的标准方程有四种，在求解过程中，首先要根据题目描述的几何性质判断方程形式，若只能判断对称轴，而不能判断开口方向，可设为x2＝ay(a≠0)或y2＝ax(a≠0)，然后利用待定系数法和已知条件求解．三、判断位置关系方法总结(方法一)把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线相交(一个交点)计算判别式1、判别式大于0，相交(2交点）2、判别式等于0，相切3、判别式小于0，相离三、判断位置关系方法总结(方法二)判断直线是否与抛物线的对称轴平行不平行直线与抛物线相交(一个交点)计算判别式判别式大于0，相交判别式等于0，相切判别式小于0，相离平行Oyx练习【1】过点(0,1)且与抛物线22yx只有一个公共点的直线方程有______条.3【2】过抛物线y2=12x的焦点作倾斜角为45°的弦,则此弦长为______；一条焦点弦长为16，则弦所在的直线倾斜角为______．24233或FABOxy【例1】在抛物线y2＝4x上求一点P，使点P到直线y=x+3的距离最小.抛物线上到直线l距离最短的点,是和此直线平行的切线的切点.解:易知直线与抛物线相离,设与y=x+3平行且与y2=4x相切的直线方程为y=x+b.化简得∴切线方程为：解方程组得所以切点为P(1,2).24yxyxb由，22(24)0xbxb22(24)416160,bbb1.b1.yx241yxyx，1,2.xyOyxOyxP抛物线的最值问题变式1.直线x+y-3=0和抛物线y2=4x交于A、B两点.在抛物线上求一点C,使△ABC的面积最大.AOByxODABC2(4,4),Ctt2|443|2ttd变式2.Q,P分别是抛物线y2=x与圆(x-3)2+y2=1上的两动点,则PQ的最小值是__________.222(3)dtt22511()24tPAQxyominPQ111.22(,),()解析：为参数Qttt1112例2(2011·江西)已知过抛物线y2＝2px(p0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且AB＝9.(1)求该抛物线的方程．(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC→＝OA→＋λOB→，求λ的值．1,0,·0,.(1)(2)4,.FPyPPMxMMPNPMPFPMPNNlNABOAOBlk已知定点动点在轴上运动，过点作交轴于点，并延长到点，且求点的轨迹方程；直线与点的轨迹交于,不同两点,若求直线的斜率的取值范围(3)(2)46430.ABlk在成立的条件下，若,求直线的斜率的取值范围≤≤【例3】例4.A、B是抛物线y2＝2px(p＞0)上的两点，且OA⊥OB.(1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB过定点；(3)求弦AB中点P的轨迹方程；(4)求△AOB面积的最小值．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点P(x0，y0)．(1)kOA＝y1x1，kOB＝y2x2.∵OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0.∵y21＝2px1，y22＝2px2，∴y212p·y222p＋y1y2＝0.∵y1≠0，y2≠0，∴y1y2＝－4p2.∴x1x2＝4p2.(2)∵y21＝2px1，y22＝2px2，∴(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)．∴当x1≠x2时，y1－y2x1－x2＝2py1＋y2.∴kAB＝2py1＋y2.∴直线AB：y－y1＝2py1＋y2(x－x1)．∴y＝2pxy1＋y2＋y1－2px1y1＋y2.∴y＝2pxy1＋y2＋y21－2px1＋y1y2y1＋y2.∵y21＝2px1，y1y2＝－4p2，∴y＝2pxy1＋y2＋－4p2y1＋y2.∴y＝2py1＋y2(x－2p)．∴AB过定点(2p,0)，设M(2p,0)．当x1＝x2时，知AB方程为x＝2p，过(2p,0)．由上可知，直线AB过定点．(3)如图，设OA：y＝kx，代入y2＝2px，得x＝0，x＝2pk2.∴A2pk2，2pk.同理，以－1k代替k，得B(2pk2，－2pk)．设P(x0，y0)，∴x0＝pk2＋1k2，y0＝p1k－k.∵k2＋1k2＝(1k－k)2＋2，∴x0p＝y0p2＋2，即y20＝px0－2p2.∴中点P的轨迹方程为y2＝px－2p2.(4)S△AOB＝S△AOM＋S△BOM＝12|MO|(|y1|＋|y2|)＝p(|y1|＋|y2|)≥2p|y1y2|＝4p2，当且仅当|y1|＝|y2|＝2p时，等号成立．∴△AOB面积的最小值为4p2.点评：(1)解决直线与抛物线问题时，要注意以下几点：①设抛物线上的点为(x1，y1)，(x2，y2)；②因为(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，故满足y21＝2px1，y22＝2px2；③利用y21y22＝4p2x1x2可以整体得到y1y2或x1x2.(2)利用抛物线的定义把过焦点的弦分成两个焦半径的和，转化为到准线的距离，再求解．过定点，并求此定点。求证：直线，满足的斜率两点，且交于与作直线上，过点在曲线）已知点（的方程；的轨迹求点足是平面上一动点，且满，，已知例DEkkkkllEDCllMCmMCPABPBBAPAPBA2,,,,)2,(2)1()0,1()0,1(.521212121()(1)((1)1)PxyPAxyPBxy设，,，,，解：则，(20)(20)ABBA，，，.PABAPBAB因为，22(1)22(1),xyx所以24.CxPy点的轨迹的方程为所以24yx即.OxyPBA221212(1)(12)()()44(2)yyMDyEy证明：由知，,设，，，,121222122221144yykkyy所以，211124()4yDEyyxyy直的所线为以方程,121240xyyyyy（）整理得，84440,xykk亦即(1,2)DE直线过定点所以.12()(2)28.yy整理得①12221212444DEyykyyyy1284yyk.由①②知DOMxyEk，124.yyk②1()0()2xky即.22221(0)yxabab22221(0,0)yxabab22(0)ypxp平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹.平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于定值2a(02a|F1F2|)的点的轨迹.平面内到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹.xyoxyo2A1A2B1B曲线椭圆双曲线抛物线图象标准方程定义1.圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质.要点梳理曲线椭圆双曲线抛物线图象顶点焦点对称轴离心率准线渐近线焦半径),0(),0,(ba(,0),(,0)aa)0,0(22(,0),ccab22(,0),ccab(,0)2p(0,1)cea1cea1ebyxa0raex0||rexa02prxx轴,长轴长2a，y轴,短轴长2b.x轴2axc2pxxyoxyo2A1A2B1B1.圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质.x轴,实轴长2a，y轴,虚轴长2b.2.直线与圆锥曲线问题解法：⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解．【注意事项】①联立的关于“x”还是关于“y”的一元二次方程？②直线斜率不存在时考虑了吗？③判别式验证了吗？设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线：f(x，y)＝0，由Ax＋By＋C＝0，f(x，y)＝0，得ax2＋bx＋c＝0.设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线：f(x，y)＝0，由Ax＋By＋C＝0，f(x，y)＝0，得ax2＋bx＋c＝0.设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线：f(x，y)＝0，由Ax＋By＋C＝0，f(x，y)＝0，得ax2＋bx＋c＝0.20.axbxc利用韦达定理.2.直线与圆锥曲线问题解法：(2)设而不求（代点作差法）：①设点A(x1，y1)、B(x2,y2)；步骤如下：②作差得1212AByykxx③解决问题．若问题涉及弦的中点及直线斜率问题（即中点弦问题），可考虑“点差法”（即把两点坐标代入圆锥曲线方程，然后两式作差），同时常与根和系数的关系综合应用.判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线l的方程代入曲线C的方程，消去y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0（或ay2+by+c=0）.3.直线与圆锥曲线的位置关系的判断(1)若a≠0，Δ＝b2－4ac，则①Δ0，直线l与圆锥曲线有交点.②Δ＝0，直线l与圆锥曲线有公共点.③Δ0，直线l与圆锥曲线公共点.平行或重合一无两平行或重合椭圆(2)若a＝0，此时圆锥曲线不是________;当圆锥曲线为双曲线时，l与双曲线的渐