第六讲-天体运动中的四大难点

能力提升课第六讲天体运动中的四大难点热点一近地卫星、赤道上的物体及同步卫星的运行问题(师生共研)三种匀速圆周运动的参量比较[典例1](2019·山西大学附中模块诊断)同步卫星离地心距离为r，运行速率为v1，加速度为a1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球的半径为R，则下列比值正确的是()A.v1v2＝rRB．v1v2＝RrC.a1a2＝rR2D．a1a2＝rR解析：对于地球同步卫星和以第一宇宙速度运动的近地卫星，由万有引力提供做匀速圆周运动所需向心力，得：GmMr2＝mv2r，得v＝GMr，则得v1v2＝Rr，A错误，B正确．因为地球同步卫星的角速度和地球赤道上的物体随地球自转的角速度相同，由a1＝ω2r，a2＝ω2R可得：a1a2＝rR，D正确，C错误．答案：BD热点二双星及多星模型(自主学习)1．模型特征(1)多星系统的条件①各星彼此相距较近．②各星绕同一圆心做匀速圆周运动．(2)多星系统的结构类型双星模型三星模型结构图向心力由两星之间的万有引力提供，故两星的向心力大小相等运行所需向心力都由其余行星对其万有引力的合力提供运动参量各行星转动方向相同，周期、角速度相等2.思维引导2－1.[双星模型]双星系统由两颗恒星组成，两恒星在万有引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为()A.n3k2TB．n3kTC.n2kTD．nkT解析：如图所示，设两恒星的质量分别为M1和M2，轨道半径分别为r1和r2.根据万有引力定律及牛顿第二定律可得GM1M2r1＋r22＝M1(2πT)2r1＝M2(2πT)2r2，解得GM1＋M2r1＋r22＝(2πT)2·(r1＋r2)，即GMr1＋r23＝(2πT)2①，当两星的总质量变为原来的k倍，它们之间的距离变为原来的n倍时，有GkMnr3＝(2πT′)2②，联立①②两式可得T′＝n3kT，故B项正确．答案：B2－2.[三星模型](多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则()A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同B．直线三星系统的运动周期T＝4πRR5GMC．三角形三星系统中星体间的距离L＝3125RD．三角形三星系统的线速度大小为125GMR解析：直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同，方向相反，A错误；三星系统中，对直线三星系统有GM2R2＋GM22R2＝M4π2T2R，解得T＝4πRR5GM，B正确；对三角形三星系统根据万有引力定律可得2GM2L2cos30°＝M4π2T2·L2cos30°，联立解得L＝3125R，C正确；三角形三星系统的线速度大小为v＝2πrT＝2πL2cos30°T，代入解得v＝36·3125·5GMR，D错误．答案：BC热点三卫星的变轨问题(师生共研)人造地球卫星的发射过程要经过多次变轨，如图所示，我们从以下几个方面讨论．1．变轨原理及过程(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上．(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.2．一些物理量的定性分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.因在A点加速，则vA＞v1，因在B点加速，则v3vB，又因v1v3，故有vAv1v3vB.(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同．同理，从轨道Ⅱ和轨道Ⅲ上经过B点时加速度也相同．(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律a3T2＝k可知T1＜T2＜T3.(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1＜E2＜E3.3．卫星变轨的两种方式一是改变提供的向心力(一般不采用这种方式)．二是改变需要的向心力(通常采用这种方式)．[典例2](2016·北京卷)如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行，在P点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动．下列说法正确的是()A．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的速度都相同B．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同C．卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度D．卫星在轨道2的任何位置都具有相同速度解析：卫星在轨道1上运行到P点，经加速后才能在轨道2上运行，故A错误；由GMmr2＝ma得a＝GMr2，由此式可知B正确、C错；卫星在轨道2上的任何位置具有的速度大小相等，但方向不同，故D错．答案：B[易错提醒]卫星做圆周运动的加速度要根据实际运动情况分析.v2r与GMr2相等时，卫星才可以做稳定的匀速圆周运动；v2r＞GMr2时，卫星将做离心运动．3－1.[变轨运行参数分析](多选)小行星绕恒星运动的同时，恒星均匀地向四周辐射能量，质量缓慢减小，可认为小行星在绕恒星运动一周的过程中近似做圆周运动．则经过足够长的时间后，小行星运动的()A．半径变大B．速率变大C．加速度变小D．周期变小解析：恒星均匀地向四周辐射能量，质量缓慢减小，二者之间万有引力减小，小行星做离心运动，即半径增大，故A正确；根据GMmr2＝ma＝mv2r＝mr4π2T2，得a＝GMr2，v＝GMr，T＝4π2r3GM，因为r增大，M减小，则a减小，v减小，T增大，故C正确，B、D错误．答案：AC3－2.[变轨中的能量分析](多选)如图是“嫦娥三号”飞行轨道示意图．假设“嫦娥三号”运行经过P点第一次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面高度为100km的圆轨道Ⅰ上运动，再次经过P点时第二次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面近地点为Q、高度为15km，远地点为P、高度为100km的椭圆轨道Ⅱ上运动，下列说法正确的是()A．“嫦娥三号”在距离月面高度为100km的圆轨道Ⅰ上运动时速度大小可能变化B．“嫦娥三号”在距离月面高度100km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期C．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度D．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速率可能小于经过P点时的速率解析：“嫦娥三号”在距离月面高度为100km的圆轨道上运动是匀速圆周运动，速度大小不变，A错误；由于圆轨道的轨道半径大于椭圆轨道半长轴，根据开普勒定律知，“嫦娥三号”在距离月面高度100km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期，B正确；由于在Q点“嫦娥三号”所受万有引力大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度，C正确；“嫦娥三号”在椭圆轨道上运动的引力势能和动能之和保持不变，Q点的引力势能小于P点的引力势能，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动到Q点的动能较大，速度较大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速率一定大于经过P点时的速率，D错误．答案：BC热点四卫星中的追及相遇问题(师生共研)某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上．由于它们的轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们的初始位置与中心天体在同一直线上，实际上内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻．[典例3](多选)(2014·全国卷Ⅰ)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”．据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日．已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是()地球火星木星土星天王星海王星轨道半径(AU)1.01.55.29.51930A.各地外行星每年都会出现冲日现象B．在2015年内一定会出现木星冲日C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短解析：设某行星相邻两次冲日的时间间隔为t，地球绕太阳运动的周期为T，某行星绕太阳运动的周期为T行，则2πTt－2πT行t＝2π，可得t＝T1－TT行；而根据开普勒定律可得T2T2行＝R3R3行，联立可得t＝T1－R3R3行，代入相关数据可得t火＝T1－R3R3火≈2.195T，t木＝T1－R3R3木≈1.092T，t土＝T1－R3R3土≈1.035T，t天＝T1－R3R3天≈1.012T，t海＝T1－R3R3海≈1.006T；根据上述数据可知，各地外行星并不是每年都会出现冲日现象，A错误；木星在2014年1月6日出现了木星冲日现象，再经1.092T将再次出现木星冲日现象，所以在2015年内一定会出现木星冲日，B正确；根据上述数据可知，天王星相邻两次冲日的时间间隔不是土星的一半，C错误；根据上述数据可知，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短，D正确．答案：BD[反思总结]对于天体追及问题的处理思路1．根据GMmr2＝mrω2，可判断出谁的角速度大．2．根据两星追上或相距最近时满足两星运行的角度差等于2π的整数倍，相距最远时，两星运行的角度差等于π的奇数倍．在与地球上物体追及时，要根据地球上物体与同步卫星角速度相同的特点进行判断．设金星和地球绕太阳中心的运动是公转方向相同且轨道共面的匀速圆周运动，金星在地球轨道的内侧(称为地内行星)，在某特殊时刻，地球、金星和太阳会出现在一条直线上，这时候从地球上观测，金星像镶嵌在太阳脸上的小黑痣缓慢走过太阳表面，天文学称这种现象为“金星凌日”，假设地球公转轨道半径为R，“金星凌日”每隔t0年出现一次，则金星的公转轨道半径为()A.t01＋t0RB．R2t01＋t03C．R31＋t0t02D．R3t01＋t02解析：根据开普勒第三定律有R3金R3＝T2金T2地，“金星凌日”每隔t0年出现一次，故(2πT金－2πT地)t0＝2π，已知T地＝1年，联立解得R金R＝3t01＋t02，因此金星的公转轨道半径R金＝R3t01＋t02，故D正确．答案：D1．2016年9月15日，我国成功发射“天空二号”空间实验室，2016年10月19日，“神舟十一号”飞船与“天空二号”自动交会对接成功．假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，我国实现飞船与空间实验室对接成功的措施可能是(C)A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接2．(2016·四川卷)国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440km，远地点高度