高考数学(理)一轮复习配套讲义：二项分布与正态分布

.Word资料第5讲二项分布与正态分布[最新考纲]1．了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布．3．能解决一些简单的实际问题.知识梳理1．条件概率及其性质条件概率的定义条件概率的性质设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)＝PABPA为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(1)0≤P(B|A)≤1(2)若B，C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)2.事件的相互独立性设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)；事件A与B，A与B，A与B都相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)．(2)二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．4．正态分布(1)正态分布的定义及表示.Word资料如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aX≤b)＝abφμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．函数φμ，σ(x)＝，x∈R的图象(正态曲线)关于直线x＝μ对称，在x＝μ处达到峰值1σ2π.(2)正态总体三个基本概率值①P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.682_6.②P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.954_4.③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.辨析感悟1．条件概率与相互独立事件的概率(1)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(√)(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)＝P(A)·P(B)．(×)(3)(教材习题改编)袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是0.5.(√)2．二项分布与正态分布(4)在正态分布函数φμ，σ(x)＝中，μ是正态分布的期望值，σ是正态分布的标准差．(√)(5)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生次数的概率分布．(√)(6)(2014·扬州调研改编)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，.Word资料那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P＝C13·131·1－133－1＝49.(×)[感悟·提升]1．古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)＝PABPA＝nABnA，其中，在实际应用中P(B|A)＝nABnA是一种重要的求条件概率的方法．2．P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事件A、B相互独立时，公式才成立，此时P(B)＝P(B|A)，如(1)，(2)．3．判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：一是是否为n次独立重复试验．在每次试验中事件A发生的概率是否均为p.二是随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数．且P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k表示在独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率.考点一条件概率【例1】(1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于()．A.18B.14C.25D.12(2)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝________.解析(1)P(A)＝C23＋C22C25＝410＝25，P(AB)＝C22C25＝110.由条件概率计算公式，得P(B|A)＝PABPA＝110410＝14.(2)由题意可得，事件A发生的概率P(A)＝S正方形EFGHS圆O＝2×2π×12＝2π..Word资料事件AB表示“豆子落在△EOH内”，则P(AB)＝S△EOHS圆O＝12×12π×12＝12π.故P(B|A)＝PABPA＝12π2π＝14.答案(1)B(2)14规律方法(1)利用定义，求P(A)和P(AB)，则P(B|A)＝PABPA.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝nABnA.【训练1】已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是()．A.1127B.1124C.827D.924解析设从1号箱取到红球为事件A，从2号箱取到红球为事件B.由题意，P(A)＝42＋4＝23，P(B|A)＝3＋18＋1＝49，∴P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝23×49＝827，所以两次都取到红球的概率为827.答案C考点二相互独立事件同时发生的概率【例2】(2013·陕西卷改编)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在.Word资料3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X≥2”的事件概率．审题路线(1)甲选择3号和乙没选择3号是相互独立事件，利用相互独立事件概率乘法可求；(2)“X≥2”表示事件“X＝2”与“X＝3”的和事件，根据互斥事件、相互独立事件的概率公式计算．解(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P(A)＝C12C23＝23，P(B)＝C24C35＝35.∵事件A与B相互独立，A与B相互独立．则A·B表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”．∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝P(A)·[1－P(B)]＝23×25＝415，(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)＝C24C35＝35，依题意，A，B，C相互独立，A，B，C相互独立，且ABC，ABC，ABC，ABC彼此互斥．又P(X＝2)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375，P(X＝3)＝P(ABC)＝23×35×35＝1875，∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝3375＋1875＝1725.规律方法(1)解答本题关键是把所求事件包含的各种情况找出来，从而把所求事件表示为几个事件的和事件．(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有.Word资料①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．【训练2】甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p，且乙投球2次均未命中的概率为116.(1)求乙投球的命中率p；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率．解(1)设“甲投一次球命中”为事件A，“乙投一次球命中”为事件B.由题意得：P(B)P(B)＝116，于是P(B)＝14或P(B)＝－14(舍去)．故p＝1－P(B)＝34.所以乙投球的命中率为34.(2)法一由题设知，P(A)＝12，P(A)＝12.故甲投球2次，至少命中1次的概率为1－P(A·A)＝1－P(A)P(A)＝34.法二由题设知，P(A)＝12，P(A)＝12.故甲投球2次，至少命中1次的概率为C12P(A)P(A)＋P(A)P(A)＝34.考点三正态分布下的概率【例3】已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X4)＝0.8，则P(0X2)＝()．A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析由P(X4)＝0.8，得P(X≥4)＝0.2，.Word资料由题意知正态曲线的对称轴为直线x＝2，P(X≤0)＝P(X≥4)＝0.2，∴P(0X4)＝1－P(X≤0)－P(X≥4)＝0.6，∴P(0＜X＜2)＝12P(0X4)＝0.3.答案C规律方法(1)求解本题关键是明确正态曲线关于x＝2对称，且区间[0,4]也关于x＝2对称．(2)关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σX≤μ＋σ)，P(μ－2σX≤μ＋2σ)，P(μ－3σX≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.【训练3】若在本例中，条件改为“已知随机变量X～N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，”求P(X4)的值．解∵随机变量X～N(3,1)，∴正态曲线关于直线x＝3对称，由P(2≤X≤4)＝0.6826，得P(X4)＝12[1－P(2≤X≤4)]＝12(1－0.6826)＝0.1587.考点四独立重复试验与二项分布【例4】某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；(2)求中奖人数X的分布列．审题路线(1)甲、乙、丙各购买一瓶饮料是否中奖，相互独立，由相互独立事件同时发生的概率乘法公式，第(1)问可求；(2)依题意随机变量X服从二项分布，不难求出分布列．解(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A，B，C，且相互独立，那么A，B，C相互独立．.Word资料又P(A)＝P(B)＝P(C)＝16，∴P(A·B·C)＝P(A)P(B)P(C)＝16·562＝25216，即甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为25216.(2)X的可能取值为0,1,2,3，且X～B3，16，∴P(X＝k)＝Ck316k563－k(k＝0,1,2,3)．则P(X＝0)＝C03·5363＝125216，P(X＝1)＝C13·5263＝2572，P(X＝2)＝C23·563＝572，P(X＝3)＝C3363＝1216，所以中奖人数X的分布列为X0123P12521625725721216规律方法(1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后求概率．【训练4】某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；.Word资料(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X，求X的概率分布列及数学期望E(X)．解(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1－P(C)＝1－110·p＝4950，解得p＝15.(2)由题意，P(X＝0)＝C031103＝11000，P(X＝1)＝C131102×1－110＝271000，P(X＝2)＝C23×110×1－1102＝2431000，P(X＝3)＝C331－1103＝7291000.所以，随机变量X的概率分布列为X0123