之：两点间距离公式——数学阅读教学反思

1/6两点间距离公式的教学设计教学目标1、掌握两点间的距离公式，熟练地运用距离公式来解决实际问题；2、培养学生的数学阅读能力、阅读方法；3、渗透用代数的方法解决几何问题的思想.教学内容重点：两点间距离公式及其应用.难点：对课本例题的深层次的思考和知识的迁移.教学过程一、复习提问师：上节课我们学习了有向线段的概念，我们先来复习一下.提问1：请回答ABABAB、、有什么不同？生:AB表示以A为起点,B为终点的有向线段，是一个几何图形;AB是有向线段AB的长度；AB表示有向线段AB的数量，AB与AB都是一个实数.师：提问2：设AB在x轴上或与x轴平行时，有向线段AB的数量、长度公式如何用BA,点在x轴上的坐标21,xx表示呢？生：2121,xxABxxAB.师：提问3：沙尔公式的内容是什么？生：设轴上点nAAAA,,,,321的坐标分别nxxxx,,,,321为那么有nnnAAAAAAAA113221，或0113221AAAAAAAAnnn.二、新课导入师：如果AB与y轴平行或在y轴上，有向线段AB的数量与长度如何求？生：设BA,两点的纵坐标为21,yy，则2121,yyAByyAB师：那么，当有向线段与坐标轴不平行时，能否通过端点的坐标求出线段的长，即两端点间的距离呢？2/6我们可以通过作有向线段在x轴，y轴上的投影（射影），利用勾股定理即可求出线段的长，即两端点间的距离.如图1，设),(),,(222111yxPyxP两点.从21,PP分别向x轴和y轴作垂线22221111,,,NPMPNPMP，相交于点Q.在QPPRt21中2221221QPQPPP因为12211xxMMQP所以121xxQP同样21122yyNNQP所以212yyQP所以221212221212221)()(yyxxyyxxPP于是，我们得到平面上两点间的距离公式：22121221)()(yyxxPP下面我们来看看这个公式的应用.例1求下列BA,两点间的距离：（1）)1,5(),1,2(BA；（2）)0,(),2,(22acBabcabA.解（1）1349)11()25(22AB（2）)()(4)()20()(22222122222222222bcabcacbabcaabcabacAB例2ABC中，AO是BC边上的中线，求证:)(22222OCAOACAB.解建立平面直角坐标系，如图2，设点CBAO,,,的坐标分别为)0,(),0,(),,(),00(aCaBcbAO，，利用平面上两点间距离公式有222222222222)()(cbaabccabACAB3/6又有22222cbaOCAO，从而)(22222OCAOACAB.师：看过上述例题后，你知道了一些什么？启发1：若不按例2的方法建立平面直角坐标系，能否证明上述结论？例如，方法1：见图3，设)0,2(),0,0(),,(),0(aCBcbAaO，，证明从略.方法2：见图4，设),(),,(),(332211yxCyxByxA，，因为D是BC的中点，所以)2,2(3232yyxxD.由此可见，解答例2，建立坐标系的方法是最简单的.启发2：通过本题，我们体会到解析几何的一种基本思想方法就是建立坐标系，将几何问题通过代数计算的方法加以解决.试想，此题若不通过建立坐标系，而是用纯平面几何的办法来解决，将怎样添辅助线？启发3：如果本题不是书上的例题，而是一道考试题，谁能用学过的办法比较简单地将其解决呢？师：我们可以通过学过的余弦定理来解.设nOCmAOAOC,,则)1(cos2)cos(222222mnnmmnnmAB)2(cos2222mnnmAC得)2()1()(2)(2222222OCAOnmACAB这就是说，我们要善于利用已知将为之转化为已知，不断地培养自己分析问题，解决问题的能力.启发4：读了本例题后，你们知道本例题的几何意义是什么4/6吗？我们可以这样想：将ABC沿边作一个对称变换（中心对称），得到BCA’，则由本题解决)(22222OCAOACAB，可知平行四边形四边长的平方和等于对角线的平方和.三、课堂练习设点P为矩形ABCD所在平面上任意一点，求证：2222PDPBPCPA.方法1：建立如图7所示坐标系，设),(),,(),,0(),0(yxPbaDbAaC，.byaxbayxyaxbyxPCPA2222)()(2222222222因为byaxbayxbyaxyxPDPB2222)()(2222222222所以2222PDPBPCPA.方法2：以矩形ABCD的对称中心O为原点，建立如图8所示的坐标系，设),(baD，则),(),,(),,(),,(yxPbaCbaBbaA.22222222222222)()()()(bayxbyaxbyaxPCPA因为22222222222222)()()()9bayxbyaxbyaxPDPB请同学们比较，用哪一种方法建立坐标系其计算量要小些.四、课堂小结1、两点间距离及应用；2、解析法的主要思想方法；3、建立执教坐标系的一般原则.5/6五、补充作业在x轴上求一点P，使P点到)5,4(),3,0(BA距离的平方和最小.解设)0,(xP为所求的地啊，则由平面上两点间距离公式得4242)2(2850)44(25082)50()4(3222222222xxxxxxxPBPA当且仅当2x时22PBPA的值为最小所以点P坐标为)0,2(反思本节课作为平面解析几何的入门课，我的一个主导思想是，要通过本节课让学生了解平面解析几何的基本思想—坐标的思想.通过平面直角坐标系的建立，把“数”和“形”联系起来，把“几何问题”和“代数方程”联系起来，从而实现代数的方法研究几何问题的目的.为了达到这个目的，我力求让学生通过看书和课堂联系去初步体会这种“坐标法”的思想.在这里，我抓住目前中学生普遍存在的忽视数学阅读的问题，利用布置学生看书这一教学环节，促使学生逐渐养成读数学课本的良好的学习习惯，同时教会他们逐渐学会使用图形语言.我们知道，在平面解析几何里建立坐标系是有技巧的.同样的问题，如果坐标系建立得恰当，解决起来就比较容易，相反则会比较麻烦.因此，在本课的课堂练习中，我通过课本例题的分析，告诉学生课本上的建立坐标系的方法是最简单的方法，我们今后在解决实际问题时要打开思路，根据具体问题选择最佳方法建立平面直角坐标系，以便于问题的解决.当然，建立平面直角坐标系的技巧还要在后面的教学中不断引导，逐渐渗透，这不是通过一节课所能够解决的问题，这里不过是给学生“下点儿毛毛雨”罢了.另外，本节课的教学内容—“平面上两点间距离公式”，又是学生学习平面解析几何的一个基本工具，学生必须熟练掌握.因此，本节课的课堂练习和补充作业的主要目的是让学生学会运用公式，如果时间再充裕一些的话，还可以把平面上两点间距离公式的运用和学生刚刚学过的三角函数知识结合起来，例如，求6/6平面直角坐标系内某定点与单位圆上一个动点之间距离的最值等，其效果会更佳.