高等数学向量代数与空间解析几何

1/7第五章向量代数与空间解析几何（数学一）§5．1向量代数一．空间直角坐标系从空间某定点O作三条互相垂直的数轴，都以O为原点，有相同的长度单位，分别称为x轴，y轴，z轴，符合右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，称O为坐标原点。1．两点间距离设点1111,,zyxM，2222,,zyxM为空间两点，则这两点间的距离可以表示为21221221221zzyyxxMMd2．中点公式设zyxM,,为1111,,zyxM，2222,,zyxM联线的中点，则2,2,2212121zzzyyyxxx二．向量的概念1．向量既有大小又有方向的量称为向量。方向是一个几何性质，它反映在两点之间从一点A到另一点B的顺序关系，而两点间又有一个距离。常用有向线段AB表示向量。A点叫起点，B点叫终点，向量AB的长度叫做模，记为AB。模为1的向量称为单位向量。2．向量的坐标表示若将向量的始点放在坐标原点O，记其终点M，且点M在给定坐标系中的坐标为zyx,,。记以三个坐标轴正向为方向的单位向量依次记为kji,,，则向量OM可以表示为zkyjxiOM称之为向量OM的坐标表达式，也可以表示为zyxOM,,称zkyjxi,,分别为向量OM在x轴，y轴，z轴上的分量。称zyx,,分别为向量OM在x轴，y轴，z轴上的投影。记OM与x轴、y轴、z轴正向的夹角分别为,,，则222coszyxx222coszyxy222coszyxz方向余弦间满足关系1coscos222cox,,描述了向量OM的方向，常称它们为向量的方向角。OM的模可以表示为222zyxOM2/7与向量zyxOM,,同方向的单位向量可以表示为OMOM1。与向量OM平行的单位向量可以表示为OMOM1。向量a同方向上的单位向量常记为a。三．向量的运算321321,,aaakajaiaa321321,,bbbkbjbibb321321,,ccckcjcicc1．加法。332211,,babababa减法。332211,,babababa2．数乘。321,,aaa（是常数）向量的加、减和数乘运算统称线性运算。3．数量积。bababa,cos332211bababa其中ba,为向量ba,间夹角ba为数量也称点乘。0ba表示向量a在向量b上的投影，即ajbabPr04．向量积ba也称为叉乘。bababa,sinba的方向按右手法则垂直于ba,所在平面，且321321bbbaaakjibaba是向量，abba。ba等于以ba,为邻边的平行四边形的面积。5．混合积：定义cbacba,,，坐标公式321321321,,cccbbbaaacba几何意义cba,,表示以cba,,为棱的平行大面体的体积。四．两向量间的关系设321321,,,,,bbbbaaaa关系向量表示向量坐标表示ba,间夹角babacos232221232221332211cosbbbaaabababaa与b垂直0ba0332211bbbaba3/7a与b平行0ba332211bababa§5．2平面与直线一．空间解析几何1．空间解析几何研究的基本问题（1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程。（2）已知坐标yx,和z间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线）。2．距离公式空间两点111,,zyxA与222,,zyxB间的距离d为212212212zzyyxxd3．定比分点公式zyxM,,是AB的分点：MBAM，点BA,的坐标为111,,zyxA，222,,zyxB则1,1,1212121zzzyyyxxx当M为中点时，2,2,2212121zzzyyyxxx二．平面及其方程1．法（线）向量，法（线）方向数。与平面垂直的非零向量，称为平面的法向量，通常记成n。法向量pnm,,的坐标称为法（线）方向数。对于给定的平面，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。2．点法式方程已知平面过000,,zyxM点，其法向量CBAn,,，则平面的方程为0000zzCyyBxxA或00rrn其中zyxrzyxr,,,,,00003．一般式方程0DCzByAx其中CBA,,不全为零。zyx,,前的系数表示的法线方向数，CBAn,,是的法向量。特别情形：0CzByAx，表示通过原点的平面。0DByAx，平行于z轴的平面。0DAx，平行yOz平面的平面。0x表示yOz平面。4．三点式方程设111,,zyxA，222,,zyxB，333,,zyxC三点不在一条直线上，则通过CBA,,的平面方程为4/70131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx5．平面束设直线L的一般式方程为0022221111DzCyBxADzCyBxA，则通过L的所有平面方程为02222211111DzCyBxAkDzCyBxAk，其中0,0,21kk。6．有关平面的问题两平面为0:11111DzCyBxA0:22222DzCyBxA1与2间夹角222222212121212121cosCBACBACCBBAA垂直条件0212121CCBBAA平行条件21212121DDCCBBAA重合条件21212121DDCCBBAA设平面的方程为0DCzByAx，而点111,,zyxM为平面外的一点，则M到平面的距离d：222111CBADCzByAxd三．直线及其方程1．方向向量、方向数与直线平行的非零向量S，称为直线L的方向向量，方向向量的坐标称为方向数。2．直线的标准方程（对称式方程）。nzzmyylxx000其中000,,zyx为直线上的点，nml,,为直线的方向数。3．参数式方程ntzzmtyyltxx000tnmls,,,为参变量。4．两点式5/7设111,,zyxA，222,,zyxB为不同的两点，则通过A和B的直线方程为121121121zzzzyyyyxxxx5．一般式方程（作为两平面的交线）：0022221111DzCyBxADzCyBxA，方向向量222111,,,,CBACBAS6．有关直线的问题两直线为1111111:nzzmyylxxL2222222:nzzmyylxxL1L与2L间夹角222222212121212121cosnmlnmlnnmmll垂直条件0212121nnmmll平行条件212121nnmmll四．平面与直线相互关系平面的方程为：0DCzByAx直线L的方程为：nzzmyylxx000L与间夹角（）222222sinnmlCBACnBmAlL与垂直条件CnBmAlL与平行条件0CnBmAlL与重合条件0CnBmAlL上有一点在上§5．3曲面与空间曲线6/7一．曲面方程1．一般方程0,,zyxF2．参数方程vuzzvuyyvuxx,,.Dvu,（平面区域）二．空间曲线方程1．一般方程0,,0,,21zyxFzyxF2．参数方程ttzztyytxx三．常见的曲面方程1．球面方程设0000,,zyxP是球心，R是半径，zyxP,,是球面上任意一点，则RPP0，即2202020Rzzyyxx2．旋转曲面的方程（1）设L是xOz平面上一条曲线，其方程是.0,0,yzxfL绕z轴旋转得到旋转曲面，设zyxP,,是旋转面上任一点，由点000,,zOxP旋转而来（点zM,0,0是圆心）。由zzyxMPMPx02200,得旋转面方程是0,22zyxf或由参数方程tfx，tgy，thz,t，得旋转面的参数方程.,sin,cos2222thztgtfytgtfxt，20（2）求空间曲线0,,0,,21zyxFzyxF绕z轴一周得旋转曲面的方程7/7第一步：从上面联立方程解出zfx，zgy第二步：旋转曲面方程为zgzfyx2222绕y轴一周或绕x轴一周的旋转曲面方程类似地处理。