向量代数与空间解析几何-课件

1第八章向量代数与空间解析几何2第一节空间直角坐标系定点ox横轴y纵轴z竖轴空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系.即以右手握住z轴，当右手的四个手指度转向y轴正向时，大拇指的指向就是z轴的正向.从x轴正向以角23Ⅶxoy面yoz面zox面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧxyoz4)0,0,(xP)0,,0(yQ),0,0(zR)0,,(yxA),,0(zyB),,(zoxCxyzo),,(zyxM空间的点有序数组),,(zyx11特殊点的表示:)0,0,0(O坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点,A,B,C一个分量为零:点在坐标面上.两个分量为零:点在坐标轴上.5,),,(1111zyxM设),,(2222zyxM为空间两点,由勾股定理，得两点间的距离公式：22122122121)()()(||zzyyxxMMOxyzz1z2x2x1y1y2M2M1特别，点),,(zyxM与原点)0,0,0(O的距离为222||zyxOM6在z轴上求与两点A(4,1,7)和B(3,5,2)等距离的点.设该点为M(0,0,z),由题设|MA|=|MB|,即222222)2()05()03()7()01()04(zz解得，914z即所求点为.)914,0,0(M例1解7第二节向量的线性运算和向量的坐标表示一、向量的概念1、向量:既有大小,又有方向的量,称为向量(或矢量).用一条有方向的线段来表示向量.2、向量的几何表示法以线段的长度表示向量的大小,ABa特别:模为1的向量称为单位向量.模为0的向量称为零向量.记为,它的方向可以看作是任意的.0有向线段的方向表示向量的方向.以A为起点,B为终点的向量,记为或.ABa向量的大小叫做向量的模.记为或.ABAB||a||83、自由向量a自由向量：只有大小、方向,而无特定起点的向量.具有在空间中可以任意平移的性质.ba与若向量大小相等且方向相同,记作相等与称.ba.baaab4、向量相等即通过平移可以使它们重合,95、向量平行(或共线)abab6、向量共面当把若干个向量的起点放在一起时,若它们的终点和公共起点在一个平面上,则称这些向量共面.如果两个向量与的方向相同或相反,称为平行,记为aba‖b10,0a,0bab称为向量a与向量b的夹角,记为特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.)0(AOBAOB则),(ba),(ab或.7、两向量的夹角将它们平移，使得始点重合，a‖b方向相同与ba:0方向相反与ba:平行，，垂直与ba:2.ba111、向量的加法(1)平行四边形法则abbba(2)三角形法则abbab向量的加法二、向量的线性运算12向量加法的运算规律：(1)交换律:abba(2)结合律:)()(cbacbabaababcbcbaabcba13多个向量相加:s1a2a3a4anaaa21从1a的起点开始,首尾相接,指向na的终点.例如,4321aaaas142、向量的减法：abbbcbabac)((2)向量减法.规定:)(baba(1)负向量:与模相同而方向相反的向量,称为的负向量,记作.aaaaa将之一平移,使起点重合,由的终点向的终点作一向量,即为abba,.baabbaba153、向量与数的乘法定义模：||||||aa当0时,;同向与aa当0时,当=0时,.,0它的方向可以是任意的a设为实数.规定:向量与数的为一个向量.a乘积aaa0;反向与aaa0方向：16向量与数的乘积的运算规律:(1)结合律:aaa)()()((2)分配律:aaa)(baba)(定理设0a,则ab//存在唯一实数k,使akb.向量的单位化：，设0a则表示与a方向相同的单位向量.aa||117例2试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边,且其长度等于第三边的一半.如图所示,设ED,分别为ACAB,的中点,则证ABCDE,21ABADADAEDE,21ACAE所以)(21ABAC,21BC所以,//BCDE且.21BCED18设cba,,两两不平行,若0cba,则cba,,构成一个三角形.设立方体三边为cba,,,FEDCBA,,,,,为各边中点,例3证证明：EFCDAB,,构成三角形.ABCDEFOabc,)(21baAB,)(21caCD,)(21bcEF0EFCDAB,即构成三角形.19设FED,,分别是ABC三边的中点,证明类似,设dcba,,,两两不平行,若0dcba,则dcba,,,构成一个四边形(但不一定共面).练习：证明向量CDBFAE,,构成某个三角形的三边.20三、向量的坐标表示1.起点在原点的向量(向径)OM设点M(x,y,z)zijkMoxyCABzyxN以分别表示沿x,y,z轴正向的单位向量,称为基本单位向量.kji,,OM=OA+AN+NMr=OA+OB+OC,kzjyix称OA、OB、OC分别是OM在x轴,y轴,z轴上的分向量,而x,y,z,分别是OM在三坐标轴上的投影,称为OM的坐标.简记为,此称为向量的坐标表示式.OMr},,{zyxr21xyzo1MPNQR2M以kji,,分别表示沿zyx,,轴正向的单位向量.ijkkajaiaPMQMPMazyx111向量在轴上的投影x向量在轴上的投影y向量在轴上的投影z12xxax12yyay12zzazkzzjyyixxMM)()()(121212212.起点不在原点O的任一向量21MMa设点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)22kzzjyyixxMM)()()(12121221按基本单位向量的坐标分解式：在三个坐标轴上的分向量：,,,kajaiazyx向量的坐标：,,,zyxaaa向量的坐标表达式：},,{zyxaaaa},,{12121221zzyyxxMM特殊地：},,{zyxOM23},,,{zyxaaaa},,,{zyxbbbb},,{zzyyxxbabababa},,{zzyyxxbabababa},,{zyxaaaakbajbaibazzyyxx)()()(kbajbaibazzyyxx)()()(.)()()(kajaiazyx利用坐标作向量的线性运算24两向量平行的充要条件：即ax=bx，ay=by，az=bz，于是.//zzyyxxbabababa即对应的坐标成比例.注:在上式中规定,若某个分母为零,则相应的分子也为零.已知baba//设,},,{zyxaaaa,},,{zyxbbbb且为常数,25设点),,(111zyxA,),,(222zyxB,在线段AB上求一点M,使MBAM)1(.（定比分点）},,{111zzyyxxAM},,{222zzyyxxMB设),,(zyxM为直线上的点，ABMxyzo例4解由题意知：MBAM},,{111zzyyxx},,,{222zzyyxx26},,{111zzyyxx},,,{222zzyyxx1xx)(2xx1yy)(2yy1zz)(2zz,121xxx,121yyy,121zzzM的坐标为)1,1,1(212121zzyyxx特别,1,得线段AB的中点)2,2,2(212121zzyyxx27设向量},,{zyxr，向量的模的坐标表示作kzjyixrOM，xyzo)0,0,(xP)0,,0(yQ),0,0(zR)0,,(yxN),,(zyxM由勾股定理知，,||||222zyxOMr此即向量模的坐标表示.28方向角与方向余弦非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.，,},,{zyxOMr设xyzoM,0,0.029方向角与方向余弦非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.，,},,{zyxOMr设xyzoM由图分析可知cos||rxcos||rycos||rz向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向.30方向角与方向余弦非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.，,},,{zyxOMr设xyzoM222||zyxr,cos222zyxx向量方向余弦的坐标表示式时，当0||222zyxr,cos222zyxy.cos222zyxz311coscoscos222方向余弦的特征0a||aa}.cos,cos,{cos特殊地：单位向量的方向余弦为,cos222zyxx,cos222zyxy.cos222zyxz32已知两点M1(2,2,)和M2(1,3,0).计算向量M1M2的模,方向余弦和方向角.2例5解M1M2={1,1,}221MM;22cos,21cos,21cos.43,3,32;2)2(1)1(222模:方向余弦：方向角：33已知两点A(4,0,5)和B(7,1,3).求方向和AB一致的单位向量.例6解，14)2(13||222AB.142,141,143||ABABa,}2,1,3{AB34练习：P8习题8.21.35sF解:由物理知,与位移平行的分力作功,与位移垂直的分力不作功.于是第三节向量的数量积与向量积一、向量的数量积||cos||SFW例如:设力F作用于某物体上,物体有一段位移S,求功的表示式..cos||||SF36ab数量积也称为“点积”、“内积”.结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.定义,Prjcos||bba,Prjcos||aababbabPrj||.Prj||baacos||||baba向量a与b的数量积为ba，(其中为a与b的夹角)投影37数量积符合下列运算规律：（1）交换律：;abba（2）分配律：;)(cbcacba（3）若为数：.)()()(bababa38关于数量积的说明：证证.||aaa即0)2(ba.ba,0ba,0||a,0||b,0cos.ba即，2||)1(aaa,ba,0cos.0cos||||baba,0.||cos||||2aaaaa,2,239例1利用向量证明三角形的余弦定理证abc.cos2222abbac,b