解三角形典型例题分析

解三角形典型例题分析知识点1．正弦定理:2sinsinsinabcRABC或变形：::sin:sin:sinabcABC.（熟记：在有关三角形的证明题中，有如下性质,sin()sin,cos()cos;sin2ABABCABCABC）考察点1：利用正弦定理解三角形例1、在ABC中，已知A:B:C=1:2:3,求a:b:c.考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例2、在△ABC中，2a·tanB=2b·tanA，判断三角形ABC的形状。例3、在△ABC中，如果lglglgsinlg2acB，并且B为锐角，试判断此三角形的形状。考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式例4、在△ABC中，求证2222220coscoscoscoscoscosabbccaABBCCA.例5、在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，C=2B，求证22cbab.cos,cossin.222CABC考察点4：求三角形的面积例6、在△ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，若252,,cos425BaC,求△ABC的面积S.例7、已知△ABC中a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，△ABC的外接圆半径为12，且3C,求△ABC的面积S的最大值。考察点5：与正弦定理有关的综合问题例8、已知△ABC的内角A,B极其对边a,b满足cotcot,abaAbB求内角C例9、在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a,b,c,且c=10,cos4cos3AbBa，求a,b例10、在△ABC中，若3,CB求cb的取值范围。（易错题）提升训练学以致用1、在△ABC中，下列关系式中一定成立的是（）A．a＞sinbAB.a=sinbAC.a＜sinbAD.a≥sinbA2、在△ABC中，若coscoscosabcABC，则△ABC是（）A．直角三角形B.等边直角三角形C．钝角三角形D.等腰直角三角形3、在△ABC中，,3,45abA，则，满足此条件的三角形有（）A．0个B.1个C.2个D.无数个4、在△ABC中75,45,32,ABc则________b。5、（2011·山东模拟）在△ABC中角A，B，C的对边分别为a,b,c，若2,2,sincos2abBB，则角A的大小为_______6、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，求证222sinsinABabcC。知识点2．余弦定理：2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcbabaC或222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacbacCab.考察点1：利用余弦定理解三角形例1：已知△ABC中，3,33,30,bcB求A，C和a。例2：△ABC中，已知26,623,43abc，求A，B，C考察点2：利用余弦定理判断三角形的形状例3：在△ABC中，已知3,abcabcab且2cossinsinABC，试判断△ABC的形状。例4：已知钝角三角形ABC的三边,2,4,akbkck求k的取值范围。考察点3：利用余弦定理证明三角形中的等式问题例5、在中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，（1）求证coscos;aBbAc（2）求证221coscos.222CAaabc例6、在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c。（1）求证222sin;sinABabcC（2）求证cossincossinacBBbcAA考察点4：正余弦定理的综合应用例7：设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2223,bcabc（1）求A的大小；（2）求2sincossinBCBC的值。例8：设ABC得到内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos3,sin4.aBbA（1）求边长a；（2）若ABC的面积S=10，求ABC的周长l。例9（易错题）：在ABC中，已知coscos,aAbB试判断ABC的形状。例10（易错题）：在ABC中，已知2,22,15,abC求A。提升训练学以致用1、ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，,7,1,3Aab则c等于（）A．22B.3C.31D.232、如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么他的顶角的余弦值为（）A．518B.34C.32D.783、（2011.广东模拟）在ABC中，分别是角A，B，C所对的边，已知3,3,,6abC则角A等于____________4、ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a,b,c设向量p,acb，,baca，若p∥q，则C的大小为____________5、在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a,b,c，已知1cos3A。（1）求22tansin22BCA的值（2）若2,2ABCaS，求b的值参考答案例1、解：例2、解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB得：,sincossincos,AABB即sin2sin2AB，2222ABAB或，2ABAB或.∴ABC为等腰三角形或直角三角形。例3、解：2lgsinlg2,sin2BB.又∵B为锐角，∴B=45°.由2lglglg2,.2caca得由正弦定理，得sin2sin2AC,∵18045,AC代入上式得：2sin2sin135CC2cos2sin,CCcos0,90,45.CCAABC为等腰直角三角形。例4、【点拨】观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将222abc，，转化为222sin,sin,sinABC.证明：由正弦定理的变式a2sin,2sinRAbRB得：2224[coscos]coscosRAB（1-A）-(1-B)222(coscos)4(coscos)coscosBARBAAB同理2222224(coscos),coscos4(coscos).coscosbcRCBBCcaRACCA2=4(coscoscoscoscoscos)0RBACBAC左边右边等式成立。::1:2:3,A.,,,63213::sin:sin:sinsin:sin:sin::11:3:2.63222ABCBCABCabABC而22sinsin2Rsin2RsincoscosBAABBA2sin135coscos135sinCC2222224sin4sin=coscoscoscosabRARBABAB例5、【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用.证明：180,180.ABCBCA2,.CBCBB又sin()sin(180)sin,BCAA2222222224(sinsin)4(sinsin)(sinsin)42sincos2cossin22224sin()sin()4sinsin.cbRCBRCBCBBCCBBCCBRRCBCBRABab右边等式成立.例6、【点拨】先利用三角公式求出sinB,sinA及边c，再求面积。解：由题意25cos25B，得23cos2cos1,25BB∴B为锐角，4372sin,sinsin()sin(),5410BABCB由正弦定理得10,7c111048sin2.22757SacB例7、【点拨】本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用。解：11sin2sin2sinsin22ABCSabCRARBC231[cos()].22RABcos()1,ABAB当即时，例8、由cotcotabaAbB及正弦定理得，sinsin=coscosABAB，sincoscossinAABB，从而sincoscossincossinsincos,4444AABB即sin()sin().44AB又∵0＜A+B＜π，,44AB,.22ABC例9、解：coscossin,=,coscossinAbABBaBA由可得变形为又,22,,2abABAB∴△ABC是直角三角形。由2221043,abba解得6,8.ab2233sinsin[cos()cos()]2RABRABAB2max3333()1441083.44ABCSRsincossincos,sin2sin2AABBAB例10、由正弦定理可知sinsin3sin(2)=sinsinsincCBBBbBBBsincos2cossin2sinBBBBB22cos22cos4cos1.BBB=180ABC，3.CB∴0°＜B＜45°，22＜cosB＜1.∴1＜24cos1B＜3，故1＜cb＜3.知识点2例1、由正弦定理2222cos,bacacB得222333233cos30aa，29180,aa解得3a或6.当3a时，30,120AC当6a时，由正弦定理得16sin2sin1,3aBAb90,60.AC例2、由余弦定理得：2222226234326cos2262343bcaAbc362431248244834872243333248348232。因为0,180,A所以30A。2222222662343cos2226623abcCab2436243124822246242因为0,180,C所以45C因为180,ABC所以1804530105B例3、由正弦定理得sinsinCcBb，由2cossinsinABC，得sincos2sin2CcABb。又由余弦定理的推论得222cos2cbaAbc。222,22ccbabbc即2222,cbcaab又3.abcabcab2223,abcb22243,.bcbbc,abcABC为等边三角形。例4、解：2222cos,cababCC当为钝角时，2cosabC＞0，22ab＜2c，222kk＜24k，解得-2＜k＜6.而k+k+2＞k+4，∴k＞2.故2＜k＜6.故k的取值范围是2,6.例5、证明：（1）左边22222222acbbcaabacbc22222222acbbcaacbc222ccc右边，故原式成立。（2）左边1cos1cos22aCcA222222112222aabccbcaabbc2222221222abcbcaacbb12abc右边，故原式成立。例6、证明：（1）由2222cos,abcbcA得；又∵sin,sinbBcC∴222sinsin2sincos12cossinsinabBCBAAcCCsin2cossinsincoscossinsinsinABABABABCCsin.sinABC故原式成立。（2）左边22222222222222222222acbaacbacacabcabbcabcbcb