一元二次方程知识点总结及典型习题(1)

第1页共7页一元二次方程一、本章知识结构框图二、具体内容（一）、一元二次方程的概念1．理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式；2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数（1）明确只有当二次项系数0a时，整式方程02cbxax才是一元二次方程。（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数).（3）熟练整理方程的过程3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解4．列出实际问题的一元二次方程（二）、一元二次方程的解法1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3．体会不同解法的相互的联系；4．值得注意的几个问题：(1)开平方法：对于形如nx2或)0()(2anbax的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.形如nx2的方程的解法：实际问题数学问题)0(02acbxax设未知数，列方程实际问题的答案数学问题的解aacbbx242解方程降次开平方法配方法公式法分解因式法检验第2页共7页当0n时，nx;当0n时，021xx;当0n时，方程无实数根。（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为nmx2)(的方程，再运用开平方法求解。配方法的一般步骤：①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为nmx2)(的形式；④求解：若0n时，方程的解为nmx，若0n时，方程无实数解。（3）公式法：一元二次方程)0(02acbxax的根aacbbx242当042acb时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；当042acb时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为abxx221；当042acb时，方程无实数根.公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定cba,,的值；③代入acb42中计算其值，判断方程是否有实数根；④若042acb代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。）（4）因式分解法：①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若0ab，则00ba或；②因式分解法的一般步骤：若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。（5）选用适当方法解一元二次方程①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。（6）解含有字母系数的方程（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。第3页共7页（三）、根的判别式1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。（1）=acb42（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程02cbxax（0a）①当时00a方程有实数根；（当时00a方程有两个不相等的实数根；当时00a方程有两个相等的实数根；）②当时00a方程无实数根；从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。（四）相关练习（一）一元二次方程的概念1．一元二次方程的项与各项系数把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项：（1）xx3252（2）015622xx（3）5)2(7)1(3yyy（4）mmmmmm57)2())((2（5）22)3(4)15(aa2．应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值(1)m为何值时，关于x的方程mxmxmm4)3()2(2是一元二次方程。（2m）（2）若分式01872xxx，则x（8x）第4页共7页3．由方程的根的定义求字母或代数式值(1)关于x的一元二次方程01)1(22axxa有一个根为0，则a（1a）(2)已知关于x的一元二次方程)0(02acbxax有一个根为1，一个根为1，则cba，cba（0，0）（3）已知c为实数，并且关于x的一元二次方程032cxx的一个根的相反数是方程032cxx的一个根，求方程032cxx的根及c的值。（0，-3，c=0）（二）一元二次方程的解法1．开平方法解下列方程：（1）012552x（2）289)3(1692x（3）03612y（4）0)31(2m（5）85)13(22x第5页共7页2．配方法解方程：（1）0522xx（2）0152yy（3）3422yy3．公式法解下列方程：（1）2632xx（2）pp3232（3）yy1172（4）2592nn（5）3)12)(2(2xxx4．因式分解法解下列方程：（1）09412x（2）04542yy（3）031082xx（4）02172xx（5）6223362xxx（6）1)5(2)5(2xx（7）08)3(2)3(222xxx第6页共7页5．解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）：（1）128)72(22x（2）222)2(212mmmm（3）)3)(2()2(6xxxx（3）3)13(2)23(332yyyyy（4）22)3(144)52(81xx6．解含有字母系数的方程（解关于x的方程）：（1）02222nmmxx（2）124322aaxax（3）nmnxxnm2)(2（4）xaxaxxa)1()1()1(2222（三）一元二次方程的根的判别式1．不解方程判别方程根的情况：（1）4xxx732（2）xx4)2(32（3）xx54542第7页共7页2．k为何值时，关于x的二次方程0962xkx（1）有两个不等的实数根（2）有两个相等的实数根（3）无实数根3．已知关于ｘ的方程mxmx1)2(42有两个相等的实数根．求ｍ的值和这个方程的根．4．若方程054)1(222aaxax有实数根，求：正整数a.5．对任意实数m，求证：关于x的方程042)1(222mmxxm无实数根.6．k为何值时，方程0)3()32()1(2kxkxk有实数根.