多元函数微分法及其应用复习题及解答

多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题1.极限limxyxyxy00242=（B）(A)等于0；(B)不存在；(C)等于12；(D)存在且不等于0或12（提示：令22ykx）2、设函数fxyxyyxxyxy(,)sinsin11000，则极限lim(,)xyfxy00=（C）(A)不存在；(B)等于1；(C)等于0；(D)等于2（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）3、设函数fxyxyxyxyxy(,)222222000，则(,)fxy（A）(A)处处连续；(B)处处有极限，但不连续；(C)仅在（0,0）点连续；(D)除（0,0）点外处处连续（提示：①在220xy，(,)fxy处处连续；②在0,0xy，令ykx，22222000limlim0(0,0)1xxykxkxfxkxk，故在220xy，函数亦连续。所以，(,)fxy在整个定义域内处处连续。）4、函数zfxy(,)在点(,)xy00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（A）(A)必要而非充分条件；(B)充分而非必要条件；(C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件5、设uyxarctan，则ux=（B）(A)xxy22；(B)yxy22；(C)yxy22；(D)xxy226、设fxyyx(,)arcsin，则fx'(,)21（A）（A）14；（B）14；（C）12；（D）127、若)ln(yxz，则yzyxzx（C）（A）yx；（B）yx；（C）21；（D）21．8、设yxzarctan，vux，vuy，则vuzz（C）（A）22vuvu；（B）22vuuv；（C）22vuvu；（D）22vuuv．9、若fxxxxfxxxx(,),(,)'232612，则fxxy'(,)2=（D）(A)x32；(B)x32；(C)21x；(D)21x10、设zyx，则()(,)zxzy21（A）(A)2；(B)1+ln2；(C)0；(D)111、设函数zxy122，则点(,)00是函数z的（B）（A）极大值点但非最大值点；（B）极大值点且是最大值点；（C）极小值点但非最小值点；（D）极小值点且是最小值点。12、设函数zfxy(,)具有二阶连续偏导数，在Pxy000(,)处，有（C）2)()(,0)()(,0)(,0)(000000PfPfPfPfPfPfyxxyyyxxyx，则（A）点P0是函数z的极大值点；（B）点P0是函数z的极小值点；（C）点P0非函数z的极值点；（D）条件不够，无法判定。二、填空题1、极限limsin()xyxyx0=。答：2、极限limln()xyxyexy01222=。答：ln23、函数zxyln()的定义域为。答：xy14、函数zxyarcsin的定义域为。答：11x，y05、设函数fxyxyxyyx(,)ln22，则fkxky(,)=。答：kfxy2(,)6、设函数fxyxyxy(,)，则fxyxy(,)=。答：222xyx（22()()(,)()()2xyxyxyfxyxyxyxyx）7、设zxyysin()3，则zxxy21_________。答：3cos58、函数zzxy(,)由方程xyzexyz()所确定，则22zx09、、设uxxyln，则2uxy=___________。答：1y9、函数zxyxy2346122的驻点是_________。答：（1，－1）三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1)221zxy(2)ln()zxy(3)1ln()zxy(4)ln(1)zxy解：(1)要使函数221zxy有意义，必须有2210xy，即有221xy.故所求函数的定义域为22{(,)|1}Dxyxy,图形为图3.1(2)要使函数ln()zxy有意义，必须有0xy.故所有函数的定义域为(,)|0Dxyxy，图形为图3.2(3)要使函数1ln()zxy有意义，必须有ln()0xy，即0xy且1xy.故该函数的定义域为(,)|01Dxyxyxy，，图形为图3.3(4)要使函数ln(1)zxy有意义，必须有10xy.故该函数的定义域为{(,)|1}Dxyxy，图形为图3.4O1xyO1xyx+y=0图3.1图3.2O1xyx+y=0x+y=11O1xyy=1/x1-1-1图3.3图3.42、求极限limxyxxyexy00416。解：limxyxxyexy00416lim()xyxxyexyxy00416=-83、设函数zzxy(,)由方程xyzxyz2所确定，求zy。答：2112xyzxy4、设zyxyxln()，求zxzy,。解：zyyxyxyxxxlnln1zxyxyyyyxx11ln()四、应用题。1、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品甲与生产y单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022yxyxyx元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(yxL表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22yxyxyxyxyxL)0,0(,400)33(01.06822yxyxyxyx，令0)6(01.060)6(01.08yxLyxLyx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0yyxyxxLCLBLA，得0105.332BAC.得极大值320)80,120(L.根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元.五、证明题1、设)11(yxez求证zyzyxzx222证明：因为2)11(1xexzyx2)11(1yeyzyx所以zeeyzyxzxyxyx2)11()11(222设2sin(x2y3z)x2y3z证明1yzxz证明：设F(xyz)2sin(x2y3z)x2y3z则Fx2cos(x2y3z)1Fy2cos(x2y3z)222FxFz2cos(x2y3z)(3)33Fx313xxzxFFFFxz3232xxzyFFFFyz于是13231zzzxFFFFyzxz3、设xx(yz)yy(xz)zz(xy)都是由方程F(xyz)0所确定的具有连续偏导数的函数证明1xzzyyx解：因为xyFFyxyzFFzyzxFFxz所以1)()()(zxyzxyFFFFFFxzzyyx