新人教A版高中数学(选修4-5)《二维形式的柯西不等式》ppt课件

式柯西不等式与排序不等第三讲.,,,.,,,高数学素质提感受数学的美妙明方法及其应用学意义、几何背景、证的数等式不我们可以领略这些通过本讲的学习样的不等式属于这与排序不等式就柯西不等式们称它们为经典不等式人的不等式而且具有重要应用价值发现一些不仅形式优美数学研究中二维形式的柯西不等式一?,.,,,,,.,,的不等关系吗研究一下关于它的推导过程你能类比有关并且形式上也与平方和数它涉及到四个实为实数积现在考虑乘与乘积的大小关系方和它反映了两个实数的平熟悉的不等式是我们非常为实数探究abbadcbadcbabaabba2222222222.,222222222222cbdadbcadcba得展开这个乘积,2222222222bcadbdaccbdadbca由于,222222bcadbdacdcba即.,2222220bdacdcbabcad因此而①.,式的含义习会进一步认识二维形通过后面的学项式式中每个括号内都是两①①.,.,,,柯西不等式即二维形式的的最简形式它是作用在数学和物理中有重要而且具有简洁、对称的美感形式上规律明显不仅排列个实数的特定数量关系式反映了inequalityCauchy4柯西不等式①于是我们有式中的等号成立时当且仅当发现从上面的探究过程可以.,,0bcad.,,,,,,等号成立时当且仅当则都是实数若二维形式的柯西不等式定理bcadbdacdcbadcba222221?的证明吗你能简明地写出定理思考1容易得出等式根据二维形式的柯西不,22222222dcbadcba|,|bdacbdac2.||||||||||||bdacdbca2222||||||||dcba2222dcba:,,,,,以下不等式成立对于任何实数所以dcba,||bdacdcba2222.||||bdacdcba2222..,的几何意义下面看一看柯西不等式观的几何背景往往要借助直简单的诠释对一个代数结果进行最.,,,,,,.0113为之间的夹角与中有向量标系设在平面直角坐如图dcbaxOy.|cos|||||||,cos||||,所以我们有义的定内积根据向量数量积ba,dc,xyO113.图,|cos|1因为.||||||所以②②得向量的坐标表示不等式二维用平面,,.||两边平方2222dcbabdac.22222dcbabdac得①②.,.的坐标表示的不等式是向量形式式的柯西不等式形维二由此可知等式这是二维形式的柯西不①和如果向量.,,|cos|,.,,以上不等式取等号共线时和即向量则当且仅当量都不是零向和如果向量式取等号以上不等则中有零向量10bcad.,式西不等式的柯二维形称之为所以应量相对二维向式与①使这时存在非零实数,k..,,.0kcdkcdbcaddckbak故即.,,的向量形式式柯西不等叫做所以我们把不等式同的意义有相与不等式不等式从上面的分析可知①②②①得综上所述,.,,,,||||||,,等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当则个向量是两设式的向量形式等柯西不定理kk2.,,价关系两者的等会从数形结合的角度体方向的推导再进行反推导不等式试从不等式探究①②?,,,,,,,,,,,.关系吗个实数蕴涵着何种大小这你能发现的边长关系根据的坐标分别为设点中系标坐角面直在平如图观察4213221121221121yxyxPOPyxyxPPOxy111yxP,222yxP,Oxy111yxP,222yxP,213.图.打开几何画板观察实验Oxy111yxP,222yxP,Oxy111yxP,222yxP,213.图,,,.22122122222121213yyxxyxyx容易发现的边长关系及三角形根据两点间距离公式以如图③.,,,,式中的等号成立两旁时在原点并且点在同一直线上与原点当且仅当OPPOPP2121③).(inequalityletriang叫做二维形式的不等式③三角不等式.,,,,2212212222212122113yyxxyxyxRyxyx那么设二维形式的三角不等式定理.,,,,,.,,用柯西不等式了就能使样这例如构造出平方和的形式另两数设法构造两数平方和乘进行式子变形需要为了使用柯西不等式证明中这个不等式从代数的角度证明式下面我们利用柯西不等发现了三角不等到式上面从几何角度分析22222121yxyx22222222212121212222221212yxyxyxyxyxyx证明2222212121212yxyyxxyx||2222212121212yxyyxxyx)(22212122212122yyyyxxxx,221221yyxx.22122122222121yyxxyxyx故.,哪一步用了柯西不等式证明中.221221232232231231yyxxyyxxyyxx得等式代入不代用代用代用代不妨用对于任何实数都成立由于不等式,,,,,,232232131131yyyxxxyyyxxx③③.,的几何意义解释不等式请结合直角坐标系探究④.,.,柯西不等式的应用介绍二维形式证明下面继续结合不等式的中的应用证明几何背景及其在不等式西不等式的数学意义、柯维形式分别讨论了二程的过理上面得出三个定.,三角不等式仍被称为二维形式的有明显的几何意义不等式④.,,23322441babababa证明为实数已知例.,,,杂的计算就可以避免繁式的一致性形式与柯西不等不等式的注意到这个但是如果它们然而再比较开上式的两边法展可以作乘虽然分析.,2332222244babbaababa有根据柯西不等式证明.,.,,,,工具数学研究的有力经典不等式是以所可以简化运算又启发证明思路既可以典不等式联系经不等式时在证明本例说明?,,,dcba中的式别对应柯西不等个数分中哪例41①.的最大值求函数例xxy210152.,.,,值大等到式求其最就能利用柯西不形式的若能化为析式是两部分的和这个函数的解找不等式取等号的条件并寻一个常数设法在不等式一边得到通常题利用不等式解决极值问分析bdacxxyy5215051,,,且函数的定义域为解22225125xx.36427.,,36271275512时函数取最大值即成立等号时当且仅当xxx.,,题的能力提高利用柯西不等式解子变形的作用可以体会其中式程解过的求回顾例2.,,,41113babaRba求证设例.,,,.,,,,用柯西不等式了就可以有了注意到在本例中以应用这个条件根据证明的需要可都不会改变它们的值去乘任何数或式子用的特殊性数由于常这个条件问题中有分析bababababababa11111111得根据柯西不等式由于证明,,,Rba.411112bbaababa.,4111baba所以又??,为什么这个条件可以去掉吗本例中Rba.,.,,.式子进行缩小或放大个等式对这就可以考虑利用柯西不时致的形式有一的左边或右边具不等式当一个式子与柯西形式注意它的外在又要既要注意它的数学意义不等式时使用柯西应用在证明不等式时的简单说明了柯西不等式个例题通过几以上