实验11-数据的统计与分析

数学实验数据的统计与分析分0毕啸天20100118111实验11数据的统计与分析化工系分0毕啸天2010011811【实验目的】1．掌握概率统计的基本概念及用MATLAB实现的方法；2．练习用这些方法解决实际问题。【实验内容】题目2某厂从一台机床生产的滚珠中随机抽取20个，测得直径(mm)如下：14.6，14.7，15.1，14.9，14.8，15.0，15.1，15.2，14.8，14.3，15.1，14.2，14.4，14.0，14.6，15.1，14.9，14.7，14.5，14.7试给出这些数据的均值、标准差、方差、极差，并画出直方图。2.1模型分析本题主要考察数据统计分析中的基本函数的调用，如平均数、方差等。以使我们进一步研究MATLAB更深入的函数。2.2程序代码A=[14.614.715.114.914.815.015.115.214.814.315.114.214.414.014.615.114.914.714.514.7];average=mean(A)sigma=std(A)variance=var(A)max_min=range(A)hist(A,6)输出结果如下：average=14.735sigma=0.33289variance=0.11082max_min=1.2数学实验数据的统计与分析分0毕啸天20100118112直方图如上所示。【本题小结】本题主要运用了一些十分简单的函数。主要是帮助我们巩固概率论与统计中的基本概念，以及如何用MATLAB实现这些概念的计算，比较简单。题目5与例6类似，但炮弹射击的目标为一半径100m的圆形区域，弹着点以圆心为中心呈二维正态分布，设在密度函数(31)中x=80m和y=50m，相关系数r=0.4.求炮弹命中圆形区域的概率。5.1模型分析5.1.1目标概率的表达式设目标圆中心坐标(0,0),半径为R=100m，圆形区域可表示为：222:Ryx.由于弹着点的分布为二维正态分布，相关系数为r=0.4，可以写出它的密度函数：)]2()1(21exp[121),(222222yyxyrxrryxpyxxyx其中参数x=80m和y=50m,r=0.4.故炮弹命中此圆内的概率可表示为二重积分1414.214.414.614.81515.200.511.522.533.544.55数学实验数据的统计与分析分0毕啸天20100118113dxdyyxyrxrrdxdyyxpPyyxxyx)]2()1(21exp[121),(2222225.1.2概率计算方法这个积分可以利用蒙特卡罗方法计算。观察它的形式，可以看出积分域是一个关于xy轴均对称的图形，故可以转化为第一象限的积分的4倍。故有mkkkyxpnRdxdyyxpP12),(4),(41其中Ω1是圆形222Ryx在第一象限的部分，),(kkyx是n个点中落在Ω1内的点的坐标，x=80,y=50,R=100，而随机点),(iiyx均为区间[0,R]上均匀分布的随机数。5.2程序代码R=100;sigmax=80;sigmay=50;r=0.4;n=100000;m=0;z=0;x=unifrnd(0,100,2,n);fori=1:nifx(1,i)^2+x(2,i)^2=R^2u=exp(-0.5/(1-r^2)*(x(1,i)^2/sigmax^2-2*r*x(1,i)*x(2,i)/(sigmax*sigmay)+x(2,i)^2/sigmay^2));z=z+u;m=m+1;endendP=4*R^2*z/2/pi/sigmax/sigmay/(1-r^2)^0.5/n重复计算4次，输出结果如下：P=0.79488P=0.79653P=0.79413P=0.79419由以上计算结果，可得炮弹命中圆形区域的概率约为0.795。【本题小结】在上概率论时我们就已经学过，很多不方便解析求精确解的积分问题（如不规则图形的数学实验数据的统计与分析分0毕啸天20100118114面积），可以利用蒙特卡罗方法求出其数值解。同时，蒙特卡罗投点法还是计算复杂函数积分、多重积分的有效方法，因为它的算法主要在于条件比较，而对维数没有任何限制。但是蒙特卡罗方法有一个严重的缺点，即计算量太大。蒙特卡罗方法的理论基础在于大数定律，即实验次数充分多后，频率会收敛到概率。1}{limpnkPn.利用中心极限定理可知，蒙特卡罗方法的结果随机性较大，精度为2/1n阶。故随着n的增加，精度提高很慢很慢，这样会严重增大计算量。它比较适合于粗略的计算，更精确的计算应该寻求更优质的算法。题目7对于报童问题，如果报纸的需求量服从正态分布),(2N，且批发价为)1(KnAa，其中n为购进报纸的数量，K为一个给定的常数。建立报童为获得最大利润的数学模型。当已知35.0,5.0,50000,5.0,50,2000cbKA时，为了获得最大的利润，求解报童每天购进的报纸数量n。7.1模型分析由于每天报纸的需求是随机的，使得报童每天利润也是随机的，所以只能以长期售报过程中，每天的平均利润为最大目标，确定最佳决策。设每天需求量为r的概率为f(r)，r无上界。记报童每天购进的报纸的份数为n，报纸购进价为)1(KnAa，每份报纸的零售价为b，每份报纸的退回价为c，则报童每天的平均利润可表达如下：)(])[()()])(()[(V(n)10rfnabrfrncarabnrnr由于r较大，可将它近似看作连续变量x，而且报纸的销售量服从正态分布),(2N，设其概率密度函数为p(x)，则V(n)可写为：dxxpnabdxxpxncaxabnn)()()()})((){(V(n)0为了求n使得V(n)最大，对V(n)求导数，得：dxxpnKAAbnnpabdxxpcnKAAnnpabnn)()2()()()()2()()((n)V0'dxxpnKAAbdxxpnKAAcnn)()2()()2(0令其导数为零，得到数学实验数据的统计与分析分0毕啸天20100118115cKAnAKAnAbdxxpdxxpnn/2/2)()(0由于50,2000，从而μ远大于σ，故nndxxpdxxp)()(0，又nndxxpdxxp)(1)(，可得下式：cbKAnAbdxxpn/2)(，00''02)(2)(2)()]21([)(2)(])21([)(KAbcdxxpKAbcdxxpKAnpKnAbdxxpKAnpcKnAnVnn又由于已知报纸销售量服从正态分布)2)(exp(21)(22xxp7.2程序代码u=2000;sigma=50;A=0.5;K=50000;b=0.5;c=0.35;n=1000;delta=0.001;right=(b-A+2*A*n/K)/(b-c);left=normcdf(n,u,sigma);whileright-leftdeltan=n+1;right=(b-A+2*A*n/K)/(b-c);left=normcdf(n,u,sigma);endn输出结果为n=1969即每天购进1969份报纸，获利的期望最大。【本题小结】本题对数学计算的要求较高，需要先对数学模型有一个清晰的认识，进行一番推导后，才能得出编程时的条件。本题中的判断条件为一个关于n的方程，不易转换为例题中的求分位数的形式。我们并没有采用数学处理方程的方法，而是用两边数的差值小于一给定的小正数，即可认为方程两边相等。对于题目计算来说，精度已经足够。数学实验数据的统计与分析分0毕啸天20100118116【总结】本次实验主要考查数据处理中的基本描述与概念，总体来说十分简单。在我们目前已经学过的基础的数学中，我觉得概率论对于我们的生活的指导意义是最大的。生活中经常会遇到需要利用手头已有的历史数据，去为未来的最大期望利润给出一种最优解。这时利用概率论与数学建模的组合就可以快速地确定最优的规划。这种思想对我们的生活有很显著的作用。