排列组合问题的基本类型及解题方法

1排列组合问题的基本类型及解题方法解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题。其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”。加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：①类与类必须互斥(不相容)，②总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类。以上解题思路分析，可以用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。（一）特殊元素的“优先安排法”对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。例1：0,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？解法一：(元素优先)分两类：第一类，含0，0在个位有24A种，0在十位有1123AA种；第二类，不含0，有1223AA种。故共有2111242323(AAA)+AA30种。注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有24A种；第二类，0不在个位，先从两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有111233AAA种。故共有21114233A+AAA=30（二）总体淘汰法对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时应注意既不能多减也不能少减，例如在例1中也可以用此法解答：5个数字组成三位数的全排列为35A，排好后发现0不能在首位，而且3和5不能排在末尾，这两种不合题意的排法要除去，故有30个偶数．（三）合理分类与准确分步解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分布层次清楚，不重不漏．例2：5个人从左到右站成一排，甲不站排头，乙不站第二个位置，不同的站法有解：由题意，可先安排甲，并按其进行分类讨论：（1）若甲在第二个位置上，则剩下的四人可自由安排，有44A种方法；（2）若甲在第三个或第四个位置上，则根据分布计数原理不同的站法有113333AAA种站法；再根据分类计数原理，不同的站法共有：21134333AAAA78种．（四）相邻问题：捆绑法对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。例3：5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？解：先把3个女生捆绑为一个整体再与其他5个男生全排列。同时，3个女生自身也应全排列。由乘法原理共有6363AA种。（五）不相邻问题用“插空法”2对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可（注意有时候两端的空隙的插法是不符合题意的）.例4：5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？解：先排无限制条件的男生，女生插在5个男生间的4个空隙，由乘法原理共有5354AA种。注意：①分清“谁插入谁”的问题。要先排无限制条件的元素，再插入必须间隔的元素；②数清可插的位置数；③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。例5：马路上有编号为1,2,3,9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？解：由于问题中有6盏亮3盏暗，又两端不可暗，故可在6盏亮的5个间隙中插入3个暗的即可，有35C种。（六）顺序固定问题用“除法”或选位不排或先定后插对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。或先在总位置中选出顺序一定元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。也可先放好顺序一定元素，再一一插入其它元素。例6：5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？解法一：先5人全排有55A种，由于全排中有甲、乙的全排种数22A，而这里只有1种是符合要求的，故要除以定序元素的全排列22A种，所以有5522A=60A种。解法二：先在5个位置中选2个位置放定序元素(甲、乙)有25C种，再排列其它3人有33A，由乘法原理得共有2353CA=60种。解法三：先固定甲、乙，再插入另三个中的第一人有3种方法，接着插入第二人有4种方法，最后插入第三人有5种方法。由乘法原理得共有345=60种。（七）“小团体”排列，先“团体”后整体对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先按制约条件“组团”并视为一个元素再与其它元素排列。例7:四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手，则出场方案有几种？解：先从四名男歌手中选2人排入两女歌手之间进行“组团”有2242AA种，把这个“女男男女”小团体视为1人再与其余2男进行排列有33A种，由乘法原理，共有2242AA33A种．（八）分排问题用“直排法”把n个元素排成若干排的问题，若没其他的特殊要求，可用统一排成一排的方法来处理．例8：7个人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则有种排法．解：7个人，可以在前后两排随意就座，没有其他的限制条件，故两排可以看成一排来处理，所以不同的坐法有77A．(九)逐步试验法如果题中附加条件增多,直接解决困难,用试验法寻找规律有时也是行之有效的方法．例9：将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格内，每个方格填一个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有种。解：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为复杂，可用试验法逐步解决．第一方格内可填2或3或4．如填2，则第二方格内可填1或3或4．若第二方格内填1,3则第三方格内只能填4，第四方格内填3．若第二方格填3，则第三方格应填4，第四方格应填1．同理，若第二方格填4，则第三、四方格应分别填3，1。因而第一方格填2共有3种方法。同理，第一格填3或4也各有3种，所以一共有9种方法。（十）探索规律法对于情况复杂，不易发现其规律的问题需要仔细分析，探索出其中规律，再予以解决。例10：从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使他们的和大于100，则不同的取法种数有种。解：此题的数字较多，情况也不一样，需要分析摸索其规律。为方便，两个加数中较小的为被加数，1100101100，1为被加数的有1种；同理，2为被加数的有2种；3为被加数的有3种；……；49为被加数的有49种；50为被加数的有50种；但51为被加数的只有49种；52为被加数的只有48种；……；99为被加数的只有1种，故不同的区法有：(12350)(49481)2500种。（十一）“住店”问题解决“允许重复排列”的问题要注意区分两类元素：一类元素可重复，另一类元素不能重复。把不能重复的元素看着“客”，能重复的元素看着“店”，再利用分步计数原理直接求解的方法称为“住店法”。例11：7名学生争夺五项冠军，获得冠军的可能种数是种。解：应同一学生可同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将7名学生看着7家“店”，五项冠军看着5名“客”，每个客有7种住宿方法，由分步计数原理得5N=7种。（十二）特征分析法有约束条件的排数问题，必须紧扣题中所提供的数字和结构特征，进行推理，分析求解。例12：由1,2,3,4,5,6六个数可组成多少个无重复且是6的倍数的五位数？解：分析数字的特征：6的倍数的数既是2的倍数，又是3的倍数。其中3的倍数又满足“各个数位上的数字之和是3的倍数”的特征。而且12621是3的倍数，从6个数字中取5个，使之和还是3的倍数，则所去掉的数字只能是3或6。因而可以分两类讨论：第一类，所排的五位数不含3，即由1,2,3,4,5,6作数码；首先从2,4,6三个中任选一个作个位数字有13A种，然后其余4个数字在其他数位上的全排列有44A，所以11134NAA；第二类，所排的五位数不含6，即由1,2,3,4,5作数码，依上法有14224NAA，故12N=NN120种。（十三）相同元素进盒，用档板分隔例13：10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？解：这里只是票数而已，与顺序无关，故可把10张票看成10个相同的小球放入5个不同的盒内，每盒至少1球，可先把10球排成一列，再在其中9个间隔中选4个位置插入4块“档板”分成5格(构成5个盒子)有49C种方法。注：档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。（十四）个数不少于盒子编号数，先填满再分隔例14：15个相同的球放入编号为1,2,3的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不同的放法？解：先用6个球按编号数“填满”各盒(符合起码要求),再把9个球放入3个盒内即可,可用2块档板与9个球一起排列(即为两类元素的排列问题),有211C种。（十五）不同元素进盒，先分堆再排列4对于不同的元素放入几个不同的盒内，当有的盒内有不小于2个元素时，不可分批进入，必须先分堆再排入。例15：5个老师分配到3个班搞活动，每班至少一个，有几种不同的分法？解：先把5位老师分3堆，有两类：3,1,1分布有35C种和1,2,2分布有12254222CCCA种，再排列到3个班里有33A种，故共有122335425322()CCCCAA种。注意：不同的老师不可分批进入同一个班，须一次到位(否则有重复计数)。即“同一盒内的元素必须一次进入”。（十六）两类元素的排列，用组合选位法例16：10级楼梯，要求7步走完，每步可跨一级，也可跨两级，问有几种不同的跨法？解：由题意知，有4步跨单级，3步跨两级，所以只要在7步中任意选3步跨两级即可。故有37C种跨法。注意：两类元素的排列问题涉及面很广，应予重视。例17：沿图中的网格线从顶点A到顶点B，最短的路线有几条？解：每一种最短走法，都要走三段“|”线和四段“—”线，这是两类元素不分顺序的排列问题。故有37C或47C种走法。例18：从5个班中选10人组成校篮球队(无任何要求)，有几种选法？解：这个问题与例12有区别，虽仍可看成4块“档板”将10个球分成5格(构成5个盒子)，是球与档板两类元素不分顺序的排列问题。但某些盒子中可能没有球，故4块“档板”与10个球一样也要参与排成一列而占位置，故有414C种选法。注意：怎样把问题等价转化为“两类元素的排列”问题是解题的关键。（十七）元素交叉问题集合法所谓集合思想，就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法。利用集合思想解决排列组合问题，可以使抽象的数学问题具体化，也可以防止在分类或分步的过程中出现重复和遗漏问题。在利用集合思想求解时，要借助于下列一组公式，它们容易用文氏图来验证。1.德·摩根定律：2.容斥原理：若用表示有限集合A中的元素的个数，则对于任意集合A、B，有=。特殊的，。下面举例说明：5例1.从6名运动员中选出4名参加接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？解：设全集，根据容斥原理得参赛方法共有：答：共有252种不同的参赛方法。例2.高一（3）班的学生中，参加课外语文小组的有20人，参加数学小组的有22人，既参加语文又参加数学小组的有10人，既未参加语文又未参加数学小组的有15人，问高一（3）班共有多少学生？解：设由容斥原理及德·摩根定律：答：高一（3）班共有学生47人。例3.由数字1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字且2、3都与4不相邻的五位数。解：设则原题即求，由容斥原理及德·摩根定律：6注：表示2与4相邻且3与4相邻的五位数的个数，那么4一定排在2与3之间，且2、3、4相邻，故有种排法。从以上三例可以看出，用集合思想处理排列组合问题，既可使问题正确归类，又可避免重复、遗漏现