第1页(共22页)圆的解题套路门派___________姓名___________编号_____________第2页(共22页)模型一:伴随型相似(听说它比较容易?)第一天例题1:如图,AB为⊙O的直径,点E在⊙O上,C为的中点,过点C作直线CD⊥AE于D,连接AC、BC.(1)试判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AD=2,AC=,求AB的长.变式1:如图,在△ABC中,∠C=90°,点E在AB上,以AE为直径的⊙O切BC于点D,连接AD.(1)求证:AD平分∠BAC;(2)若⊙O的半径为5,sin∠DAC=,求BD的长.识别模型:AB为圆O直径,AC为∠BAD角平分线。CD⊥AD。则可以证△ADC与△ACB相似。ADACCDACABCB第3页(共22页)第二天例题2:如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且BD=BC,延长AD到E,且有∠EBD=∠CAB.(1)求证:BE是⊙O的切线;(2)若BC=,AC=5,求圆的直径AD及切线BE的长.变式1:如图1,AB为半圆的直径,O为圆心,C为圆弧上一点,AD垂直于过C点的切线,垂足为D,AB的延长线交直线CD于点E.(1)求证:AC平分∠DAB;(2)如图2,连接OD交AC于点G,若=,求sin∠E的值.第4页(共22页)第三天变式2:AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD与过C点的切线垂直,垂足为D,连AC.(1)求证:AC平分∠DAB;(2)如图2,延长AB,交直线DC于E,若=,求tan∠E.变式3:如图所示,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,点D在⊙O上,过点C的切线交AD的延长线于点E,且AE⊥CE,连接CD.(1)求证:DC=BC;(2)若AB=10,AC=8,求tan∠DCE的值.第5页(共22页)第四天变式4:如图,已知以Rt△ABC的斜边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O,∠ABC的平分线BE交AC于D,交⊙O于E,过E作EF∥AC交BA的延长线于F.(1)求证:EF是⊙O切线;(2)若EF=8,tan∠AEF=,求CD的长.第6页(共22页)模型二:子母型and切割线(这是一个很深的坑)第四天(先让我们来体会一个几何的连锁反应)分析:这里有射影定理模型和切割线模型(能找到吗?),两个模型的线段之比可以不断转化:可以证明△DHB∽△AHD,∴HBDHBDHDAHAD,即:12HBBDHDAD,△CBD∽△CDA,12BDCBCDADCDCA.(这里就有一个连锁反应:HBBDCBCDDHDACDCA,将射影定理和切割线结合到了一起!)解答:模型识别:如左图:PB为圆O切线,PA为圆O割线。可证:△PCB∽△PBA。从而:PBPCCBPAPBBA(这个比例式经常将CBBA进行转化。)如图:AB为圆O的直径,过点D的切线交AB的延长线于点C,DH⊥AB于H。若AB=10,12HBDH,求CB的值。第7页(共22页)第五天例1:如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E,BC=6,.求BE的长.变式1:如图,在⊙O中,AB为直径,OC⊥AB,弦CD与OB交于点F,在AB的延长线上有点E,且EF=ED.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)若OF:OB=1:3,⊙O的半径R=3,求的值.变式2:如图,AB为⊙O直径,C是⊙O上一点,CO⊥AB于点O,弦CD与AB交于点F,过点D作∠CDE,使∠CDE=∠DFE,交AB的延长线于点E.过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G.(1)求证:GE是⊙O的切线;(2)若OF:OB=1:3,求AG的长.第8页(共22页)第六天例题2:如图,在△ABC中,AB=AC.以AC为直径的⊙O交AB于点D,交BC于点E.过E点作⊙O的切线,交AB于点F.(1)求证:EF⊥AB;(2)若BD=2,BE=3,求AC的长.变式1:如图,以AB为直径的⊙O交△ABC的边AC于D、BC于E,过D作⊙O的切线交BC于F,交BA延长线于G,且DF⊥BC.(1)求证:BA=BC;(2)若AG=2,cosB=,求DE的长.第9页(共22页)第七天变式:如图,在△ABC中,CA=CB,以BC为直径的圆⊙O交AC于点G,交AB于点D,过点D作⊙O的切线,交CB的延长线于点E,交AC于点F.(1)求证:DF⊥AC.(2)如果⊙O的半径为5,AB=12,求cos∠E.第10页(共22页)第八天(真正的子母型)例题4:已知:在Rt△ABD中,∠ABD=90°,以直角边AB为直径作圆O交AD于C,取线段BD的中点E,连接CE交AB的延长线于P.(1)求证:CP是⊙O的切线;(2)点M是弧的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MN•MC的值.变式:如图,已知△ABC,以AC为直径的⊙O交AB于点D,点E为的中点,连结CE交AB于点F,且BF=BC.(1)判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若⊙O的半径为2,sinB=,求CE的长.第11页(共22页)第九天变式:如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若BC=6,tan∠CDA=,求CD的长.变式:如图,AB为⊙O的直径,CO⊥AB于O,D在⊙O上,连接BD,CD,延长CD与AB的延长线交于E,F在BE上,且FD=FE.(1)求证:FD是⊙O的切线;(2)若AF=8,tan∠BDF=,求EF的长.第12页(共22页)类型三:等腰三角形与圆的交点(key-point)第十天例题1:如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O,交BC边于边D,交AC边于点G,过D作⊙O的切线EF,交AB的延长线于点F,交AC于点E.(1)求证:BD=CD;(2)若AE=6,BF=4,求⊙O的半径.如左图:△ABC为等腰三角形,AB为圆O的直径,则BC与圆O的交点D为BC的中点。第13页(共22页)变式:在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上一点,以BD为直径的⊙O与边AC有公共点E,连结DE并延长,与BC的延长线交于点F,BD=BF.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)若BF=8,AD=4,求CF的长.变式:如图,以△ABC的边AB为直径的⊙O与边BC交于点D,过点D作DE⊥AC,垂足为E,延长AB、ED交于点F,AD平分∠BAC.(1)求证:EF是⊙O的切线;(2)若CE=1,sinF=,求⊙O的半径.第14页(共22页)第十一天例题2:如图,已知等腰三角形ABC的底角为30°,以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D,过D作DE⊥AC,垂足为E.(1)证明:DE为⊙O的切线;(2)若BC=4,求AD的长.变式:已知如图,AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D,且DE⊥AC于点E.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)若∠C=30°,CD=10cm,求⊙O的直径.变式:如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交AC于点D,过点D作DE⊥BC于点E,且∠BDE=∠A.(1)判断DE与⊙O的位置关系并说明理由;(2)若AC=16,tanA=,求⊙O的半径.第15页(共22页)第十二天例题3:如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,过点B作⊙O的切线,交AC的延长线于点F.(1)求证:∠CBF=∠CAB;(2)连接BD,AE交于点H,若AB=5,tan∠CBF=,求BH的值.变式:如图,以△ABC的边BC为直径的⊙O交AC于点D,过点D作⊙O的切线交AB于点E.(1)如图1,若∠ABC=90°,求证:OE∥AC;(2)如图2,已知AB=AC,若sin∠ADE=,求tanA的值.第16页(共22页)类型四:射影定理(唐教授(长沙中考命题人)的最爱)第十三天例题1:如图,以△ABC的一边AB为直径作⊙O,⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D,过点D作⊙O的切线交AC于点E.(1)求证:DE⊥AC;(2)若AB=3DE,求tan∠ACB的值.变式:如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点E,连接AE.(1)若D为AC的中点,连接DE,证明:DE是⊙O的切线;(2)若BE=3EC,求tan∠ABC.第17页(共22页)第十四天例题2:如图,已知CD是△ABC中AB边上的高,以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F,点G是AD的中点.GE=BD=2,EC=.(1)求证:GE是⊙O的切线.(2)求sin∠DCB的值.变式:如图,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC为⊙O的直径,过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E,点F为CE的中点,连接DB,DC,DF.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)若AC=2DE,求tan∠ABD的值.变式:如图,△ABC内接于⊙O,AC为⊙O的直径,PB是⊙O的切线,B为切点,OP⊥BC,垂足为E,交⊙O于D,连接BD.(1)求证:BD平分∠PBC;(2)若⊙O的半径为1,PD=3DE,求OE及AB的长.第18页(共22页)杂题(方法或辅助线稍特殊的题)第十五天1:如图,AB是⊙O的直径,AC、BC是⊙O的弦,AD∥BC,且∠DCA=∠B,连接OD.(1)求证:DC与⊙O相切;(2)若sinB=,OD=3,求⊙O的半径长.第19页(共22页)第十六天1:如图,点O在△ABC的边AB上,⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E,EF⊥AC于F,直线EF是⊙O的切线.(1)求证:△ABC为等腰三角形;(2)若BD=2DA,cosB=,CF=2,求线段AF的长.第20页(共22页)第十七天1:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,O在AB上,⊙经过点A,与CB切于D,分别交AB、AC于E、F.(1)求证:sin∠B=;(2)连CE,AD相交于P,sinB=,求.第21页(共22页)第十八天1:如图,已知AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为F,E为BA延长线上的一点,连接CE、CA,∠ECA=∠ACD.(1)求证:CE为⊙O的切线;(2)若EA=2,tanE=,求⊙O的半径.第22页(共22页)第十九天1:如图,在△ABC中,AC=BC,以AB为直径的⊙O交AC边于点D,点E在BC上,连结BD,DE,∠CDE=∠ABD.(1)证明:DE是⊙O的切线;(2)若BD=12,sin∠CDE=,求圆O的半径和AC的长.