数学方法论与解题研究

数学方法论与解题研究韩山师范学院数学与应用数学系欧慧谋数学方法论主要研究什么?方法论：就是人们认识世界、改造世界的一般方法，是人们用什么样的方式、方法来观察事物和处理问题。概括地说，世界观主要解决世界“是什么”的问题，方法论主要解决“怎么办”的问题。数学方法论：主要是研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。学习数学方法论有什么意义？1.作为数学学习者，自觉地用数学方法论来指导学习，能促进对合理方法的应用的转化，提高数学学习效果。（学知识+学方法）2.作为数学教师，数学方法论与数学教学的有机结合能提高数学教学质量。（讲活、讲懂、讲深）数学方法论涉及哪些内容？实验尝试、类比联想、分析综合、归纳演绎化归、抽象、公理化、关系映射反演等。强调心理学的意义：数学元认知、数学直觉等第二章数学发现的基本方法数学发现是以提出问题和解决问题为主要标志的，这方面的能力又是衡量一个人数学水平的重要标志。提高发现问题和解决问题的能力，已经成为老师教好数学，学生学好数学的重要环节，也是研究数学、运用数学必不可少的技能。1.观察法为什么发现“万有引力”的人是牛顿？假如穿越时空，你能发现“勾股定理”吗？为什么费马能提出“费马大定理”，而证明这定理的人是维尔斯？1.观察法观察，即仔细看，在心理学上，观察被看成是一种有目的、有计划、有步骤的感知活动，是一种主动的，对思维有积极作用的感知活动。多产的数学家欧拉：1.观察法多产的数学家欧拉：在被称为纯粹数学的那部分数学中，观察无疑占有极重要的地位…1.观察法例子：1.观察法例子：1.观察法2.联想2.联想联想思维的三个主场部分某种概念相关概念2相关概念1…联想因素联想效应联想线路联想的方法接近联想（形似联想）主要有概念、原来、法则的接近而产生的联想。它是由命题的已知条件与结构特征，联想到相关的定义、定理、公式或图形等。zxyzyyxxz2,0))((4.12证明）若（例2.联想.3,,,.2222nnncbancbacba的自然数，求证：为不小于又式均为正数，且满足关系已知例联想的方法类比联想（对比联想）主要根据问题的具体情况，从具有类似或相似特点的数、式、图形以及相近的内容和性质等进行联想。2.联想联想的方法关系联想是根据知识之间的从属关系、一般关系、因果关系以及其内在联系进行的一种联想。例如，看到一个问题，联想到它属于什么类型和一般用什么方法来求解，有一个一般问题联想到特殊情形，有一个题设条件联想到它的推论等等。2.联想联想的方法关系联想2.联想4.逆向联想逆向联想是指从问题的正面想到问题的反面。在解题方法上表现为反面解法、倒推法等间接方法，在证明上表现为反证法、同一法等间接证法。4.逆向联想.14,10,.5pppp是素数，求已知例..6，则两三角形相等分线和对应边对应相等角对应相等，该角的平如果两个三角形有一个例4.逆向联想5.横向联想：是指数学各分支之间，乃至数学与物理、化学等学科之间的联想，各种知识之间有着一定的联想和相互渗透，这就为横向联想提供了可能条件。..7这点称为三角形的重心于一点，证明三角形三条中线交例5.横向联想..7心一点，称为三角形的重证三角形三条中线交于例证明:用平面几何和解析几何的方法证较繁杂，故考虑用重心原理来证明。三、联想能力的培养1.重视基础知识，注意知识系统化掌握知识越丰富，理解知识间的纵横关系越多，联想就能在更广阔的领域中展开。回忆到或搜索到的有关知识就越多，对已经学过的概念、定理、公式、法则以及数学思想方法理解得越透，掌握得越牢固，越系统，解题经验越丰富，联想就越畅通，越有效。2.“控制联想”和“自由联想”要双管齐下•控制联想：指有目的、有方向且受一定条件限制的联想。•自由联想：指从多方向、多角度、多层次进行的联想，有助于提高联想的广度和深度。只有双管齐下，才能使解题思路开阔，巧法频生，酝酿出多种不同的解题策略和思路。2.“控制联想”和“自由联想”要双管齐下.,.922222znmnymxzyxnmzyx求证：均为正实数，且、、、、已知例.,.922222znmnymxzyxnmzyx求证：均为正实数，且、、、、已知例.,.922222znmnymxzyxnmzyx求证：均为正实数，且、、、、已知例3.运用联想把问题引申推广3.运用联想把问题引申推广3.运用联想把问题引申推广§3尝试尝试：就是将初步意向付诸实施，试探是否可行，是否有进展，是否可以接近目标，是否能缩小解答所在的范围等等。通过对数学问题进行观察、联想，从整体上把握问题，形成初步的策略（解决问题的想法、方向以及解答范围等）。1.从简单入手：首先考虑符合题意的最简单情形，尝试找出这种情形的解法，然后过渡到一般情形。一、简单化，化难为易线上。所表示的曲线系每一曲于方程上找出这样的点，它位为任意实数，试在平面、例0)2(422.122nmnymxyxnm线上。所表示的曲线系每一曲于方程上找出这样的点，它位为任意实数，试在平面、例0)2(422.122nmnymxyxnm1.从简单入手2.将复杂的问题分解成几个简单问题.0)(1)(.22510afaaaaaaf都有，，求对于一切实数设例复杂综合的问题，往往由一些比较简单的问题巧妙地糅合而成，要善于观察，分解成几个小问题，各个击破后再综合起来。.0)(1)(.22510afaaaaaaf，都有，求对于一切实数设例1.分析特例，寻找启示二、特殊化，寻找突破口2.利用特例奠定基础.21.4AHOMMBCHOABC，求证：中心为，，垂心为外心为如图，设例3.使用特例，完善解题.,0)sin61()sin1(2)sin1(2.522222经过定点坐标证明：圆系例yxyx1.变易论题三、变换角度，选择主攻方向2.数形转换(数形结合百般好，隔裂分家万事休---华罗庚)三、变换角度，选择主攻方向.,,412.7baxbaxx求的解集是已知不等式例3.横向求索：采用那些看来与题目不“相关”的其他数学分支内容进行“旁敲侧击”。三、变换角度，选择主攻方向（相对于纵向追溯而言：按照知识系统，回顾和使用题意所涉及范围的内容）3.横向求索3.横向求索1.倒推法：问题发生顺序倒置，逆推还原。四、逆反转换，灵活解题逆反转换：顺推不行，考虑逆推；直接解决不易，考虑间接解决；正面困难，考虑反面。例9.（欧洲古代数学趣题）有一篮李子不知其数，分给甲一半又一个，分给乙剩下的一半又一个，分给丙剩下的一半又三个，李子刚好分完，问原有李子多少个？1.倒推法例9.（欧洲古代数学趣题）有一篮李子不知其数，分给甲一半又一个，分给乙剩下的一半又一个，分给丙剩下的一半又3个，李子刚好分完，问原有李子多少个？四、逆反转换，灵活解题2.反客为主：问题元素主次倒置。.013332.1023xxx解方程例§4.实验实验：是人们根据科学研究的目的，运用一定的研究手段（器具、仪器或科研设备），在人为控制、变革或模拟客观对象的条件下，通过观察获得感性经验和科学事实的研究方法。数学实验：是为了获得某种数学理论，检验某个数学猜想，解决某类数学问题，实验者运用一定的物质手段，在思维参与下，在经典的实验环境中或特定的实验条件下进行的一种数学探索活动。数学实验：实验和发现紧密相连，实验法不论对于发现数学知识，形成数学概念或论题，以及探索结论及解题思路都具有十分重要的作用。求三角形的内角和。概率论的发生于发展。