解三角形专项题型及高考题

1正余弦定理的专项题型题型1：利用正余弦定理判断三角形形状两种途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．例1.在中，a,b,c分别表示三个内角A,B,C的对边，如果2222()sin()()sin()abABabAB，判断三角形的形状．例2.在△ABC中，已知22tantanaBbA，试判断此三角形的形状。【同类型强化】1.在ABC中,若BbAacoscos,试判断ABC的形状【同类型强化】2.（2010上海文数）若ABC的三个内角满足sin:sin:sin5:11:13ABC，则ABC（）A．一定是锐角三角形.B．一定是直角三角形.C．一定是钝角三角形.D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【同类型强化】3．△ABC中，2sinAcosB=sinC，则此三角形的形状是（）(A)等腰△(B)等腰或者直角△(C)等腰直角△(D)直角△题型2：利用正余弦定理求三角形的面积三角形一般由三个条件确定，比如已知三边a，b，c，或两边a，b及夹角C，可以将a，b，c或a，b，C作为解三角形的基本要素，根据已知条件，通过正弦定理、余弦定理、面积公式等利用解方程组等手段进行求解，必要时可考虑作辅助线，将所给条件置于同一三角形中．2例3．在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足(1)求△ABC的面积；(2)若c＝1，求a的值．例4.(2010·辽宁营口检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足3sinA－cosA＝0，cosB＝45，b＝23.(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面积．例5.(2009·安徽)在△ABC中，sin(C－A)＝1，sinB＝13.(1)求sinA的值；(2)设AC＝6，求△ABC的面积．【同类型强化】1.在ABC△中，已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c，边72c，且tantan3tantan3ABAB，又ABC△的面积为332，求ab的值．【同类型强化】2.在锐角三角形中，边a、b是方程22320xx的两根，角A、B满足2sin30AB，求角C的度数，边c的长度及ABC△的面积．【同类型强化】3.（2009湖北卷文）（本小题满分12分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且Acasin23(Ⅰ)确定角C的大小（Ⅱ）若c＝7,且△ABC的面积为233,求a＋b的值。3【同类型强化】4.（2009浙江理）（本题满分14分）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足25cos25A，3ABAC．（I）求ABC的面积；（II）若6bc，求a的值．【同类型强化】5.（2009北京理）（本小题共13分）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,,3abcB，4cos,35Ab。（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求ABC的面积.题型3：与三角函数结合的综合问题三角函数作为联系代数与几何问题的纽带和桥梁，往往出现在综合题中——解三角形就是这样一种常见而又典型的问题，在三角形的三角变换中，正、余弦定理是解题的基础．例6.△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC＝，sin(B－A)＝cosC.(1)求A，C；(2)若S△ABC＝3＋3，求a，c.【同类型强化】(2009·山东卷)已知函数f(x)＝2sinxcos22＋cosxsin－sinx(0＜＜π)在x＝π处取最小值．(1)求的值；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．已知a＝1，b＝2，f(A)＝32，求角C.4题型4：实际问题例7.(2009·福建厦门调研)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A(3－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以103nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？例8.要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边选取相距1003米的C、D两地，并测得∠ADC=30°∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。【同类型强化】2.某海轮以30海里∕时的速度航行，在A点测得海平面上油井P在南偏东600，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东300，海轮改为东偏北600在航行80分钟到达C点，求P、C间的距离。5解三角形【2011高考题再现】1.（山东理17）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA-2cosC2c-a=cosBb．（I）求sinsinCA的值；II）若cosB=14，b=2，ABC的面积S。2.（江苏15）在△ABC中，角A、B、C所对应的边为cba,,（1）若,cos2)6sin(AA求A的值；（2）若cbA3,31cos，求Csin的值.3.设ABC的内角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，已知11.2.cos.4abC（Ⅰ）求ABC的周长（Ⅱ）求cosAC的值4.（湖南理17）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求3sinA-cos（B+4）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。5.（全国大纲理17）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知A-C=90°，a+c=2b，求C．66.（陕西理18）叙述并证明余弦定理。7.（浙江理18）在ABC中，角..ABC所对的边分别为a,b,c．已知sinsinsin,ACpBpR且214acb．（Ⅰ）当5,14pb时，求,ac的值；（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围；1.（重庆理6）若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足22ab4c（），且C=60°，则ab的值为A．43B．843C．1D．232.（四川理6）在ABC中．222sinsinsinsinsinABCBC．则A的取值范围是A．（0，6]B．[6，）C．（0，3]D．[3，）3.（全国新课标理16）ABC中，60,3,BAC，则AB+2BC的最大值为_________．4.（福建理14）如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=23，点D在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______。5.（北京理9）在ABC中。若b=5，4B，tanA=2，则sinA=____________；a=_______________。