直线与平面所成角方法归纳和典例分析

一、定义法例1（如图1）四面体ABCS中，SA,SB,SC两两垂直，∠SBA=45°,∠SBC=60°,M为AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。（2）SC与平面ABC所成的角。图12、在三棱锥ABCP中，6,30,120ABACBPCPBPA，则PB与平面ABC所成角的余弦值。3、（2016年浙江高考）如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（I）求证：BF⊥平面ACFD；（II）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.4、（2016年天津高考）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF||AB，AB=2，BC=EF=1，AE=6，DE=3，∠BAD=60º，G为BC的中点.(Ⅰ)求证：FG||平面BED；(Ⅱ)求证：平面BED⊥平面AED；(Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.BMHSCA5、在直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，𝐴𝐴1=√2，求𝐵𝐶1与平面𝐴1𝐵𝐶所成角的正弦值。（定义法、等体积法、向量法）二、等体积法1.如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AD//CD，60DAB，FC平面ABCD，AEBD，CB=CD=-CF．(Ⅰ)求证：平面ABCD平面AED；(Ⅱ)直线AF与面BDF所成角的余弦值2.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，ABE为等腰直角三角形，90BAE，且ADAE．（Ⅰ）证明：平面AEC平面BED．（Ⅱ）求直线EC与平面BED所成角的正弦值．3.如图，已知PA⊥平面ABC，等腰直角三角形ABC中，AB=BC=2，AB⊥BC，AD⊥PB于D，AE⊥PC于E．（Ⅰ）求证：PC⊥DE；（Ⅱ）若直线AB与平面ADE所成角的正弦值为，求PA的值．三、向量法1、在正方体ABCD-1111DCBA的棱长为1，求11CB与平面CAB1所成角的正弦值。ABCDE2、正三棱柱ABC-111CBA的底面边长为2，高为22，求1AC与侧面11AABB所成的角。3、如图，在四棱锥ABCDP中，ABABADABCDPA,，底面∥DC,AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点。（1）证明DCBE;(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）若F为棱PC上一点，满足ACBF，求二面角PABF的余弦值。4、如图，在四棱柱ABCD-1111DCBA中，侧棱,5,2,11CDADAAACABACABCDAA，底面且点M和N分别为CB1和DD1的中点。（1）求证：MN∥平面ABCD;（2）求二面角11BACD的正弦值；（3）设E为棱11AB上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为31，求线段EA1的长。