数学思想方法的含义

一、数学思想方法的含义“数学思想方法”一词无论在数学、数学教育范围内，还是在其它科学中，也被广为使用。中学数学课程标准（教学大纲）已将数学思想方法列为数学目标之一。数学思想是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识中锻炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。例如，字母代数思想、化归思想、极限思想、分类思想等。数学方法是指在数学地提出问题，解决问题（包括数学内部问题和实际问题）过程中，所采用的各种方式、手段、途径等。如，变化数学形式、笛卡尔模式、递推模式、一般化、特殊化等。数学思想与数学方法是紧密联系的，思想指导方法，方法体现思想。“同一数学成就，当用它去解决别的问题时，就称之为方法，当评价它在数学体系中的自身价值和意义时，称之为思想。”当强调指导思想，解题策略时，称之为数学思想；强调操作时，称为数学方法，往往不加区别，泛称数学思想方法。例如，化归思想方法是研究数学问题的一种基本思想方法。我在处理和解决数学问题时，总的指导思想是把问题转化为能够解决的问题，这就是化归思想。而实现这种化归，就是将问题不断的变换形式，通过不同的途径实现化归，这就是化归方法，具体的划归方法有多种，如恒等变换、解析法、复数法、三角法、变量替换、数形结合、几何变换等。二、中学数学思想数学思想是数学教学的重要内容之一。重视与加强中学数学思想的教学，这对于抓好双基、培养能力以及提高学生的数学素质都具有十分重要的作用。为此，下面择要探讨有关中学数学思想的问题。（一）用字母、符号、图象表示数学内容的思想数学学科与其它学科的一个显著区别，在于数学中充满了字母、符号、图形和图象，它们按照一定的规则表达数学的内容。这些字母、符号、图象、图形就是数学语言。数学发展史表明，数学的发展与数学语言的创造和运用密切相关。前苏联A.A.斯托利亚尔在《数学教育学》里指出：数学中“符号和公式等人工语言的制订是最伟大的科学成就，它在很大程度上决定了数学的进一步发展。今天越来越明显，数学不仅是事实和方法的总和，而且是（也许甚至首先是）用来描述各门科学和实际活动领域的事实和方法的语言。”数学语言可分为两种：一种是抽象的符号语言；另一种是较直观的图象（图形）语言，通过它们表达概念、判断、推理、证明等思维活动。用数学符号（数字、字母、运算符号或关系符号）表示数学内容，比用自然语言表示要简短得多。例如，余弦定理用自然语言表述是“三角形的任一边的平方，等于其它两边的平方和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍”，如果用数学语言表达，则是。两者比较，数学语言可大大缩短语言表达的“长度”。运用数学语言可以使数学的叙述、计算和推理简单明了，才能大大简化和加速思维进程，使数学成为充满活力的运行系统。数学符号的使用极大地推动了数学的发展。有人把十七世纪叫做数学的天才时期，把十八世纪叫做数学的发展时期，这两个世纪数学之所以取得较大的成就，原因之一是大量创造并使用数学符号。数学符号简化的记法，常常是深奥理论的源泉。数学语言的功能可按符号和图象在数学中的作用，归纳为以下几方面：（１）表示数的字母或几何图形的符号，具有确定的符号意义的功能。①用字母表示数。②用字母和符号表示几何图形。（２）数学符号具有形成数与数、数与式、式与式之间关系的功能。（３）数学符号具有按照某种规定进行运算的功能。（４）为了简明地表示某个特定的式子或某种特定的涵义而引入某些数学符号。（５）随着电子计算机的发展，数学语言的直观功能越来越明显。人们在电子计算机的终端显示屏上可看到各种数字、数学图表、图像，它们作为信息传递的一种形式具有同符号语言相同的功能，而且比符号语言更直观。这里所讲的“图形”，不仅包括“几何图形”，而且还包括“一般图形”，如集合论中的文氏图、示意图、表格、模型图和思路分析框架图等。2008-3-2011:24回复60.2.23.*2楼（二）转化的思想数学中充满矛盾，对立面无不在一定条件下互相转化。已知与未知，异与同，多与少，一般与特殊等等在一定条件下都可以互相转化。这是唯物辩证法在数学思想方法上的体现，转化的方向一般是把未知的问题朝向已知方向转化，把难的问题朝较易的方向转化，把繁杂的问题朝简单的方向转化，把生疏的问题朝熟悉的方向转化。化归，即转化与归结的意思，把有待解决的未解决的问题，通过转化过程，归结为已熟悉的规范性问题或已解决过的问题，从而求得问题解决的思想。人们在研究运用数学的过程中，获得了大量的成果，积累了丰富的经验，许多问题的解决已形成了固定的模式、方法和步骤，人们把这种已有相对确定的解决方法和程序的问题，叫做规范问题，而把一个未知的或复杂的问题转化为规范问题的方法，称为问题的化归。转化或化归、变换的思想方法不仅用之于数学，而且是一般分析问题和解决问题的十分重要的基本思想方法。但是这种转化变换的思想往往是渗透在数学的教学过程中，渗透在运用知识分析解决问题里。这就要靠教师在整个教学过程中，使学生能够领悟并逐步学会运用这些思想方法去解决问题。（三）数形结合的思想从广义上来看，数学研究的主要对象是：现实世界的空间形式与数量关系，形与数以及它们之间的关系始终是数学的基本内容。与此同时，数形结合又是学习与研究数学的重要思想方法。形与数是互相联系，也是可以相互转化的。把问题的数量关系转化为图形性质问题，或者将图形的性质问题转化为数量关系问题，是数学活动中一种十分重要的思想方法，统称为数形结合的思想方法。数学发展的历史表明，形与数的结合不仅使几何问题获得了有力的现代工具，而且也使许多代数问题获得了明显的直观的几何解释，从而开拓出新的研究方向。例如，笛卡尔创立的解析几何就是运用形数结合这一思想方法的典范，通过建立适当的坐标系，形成了点与有序实数组以及曲线与方程之间的对应关系，从而把几何问题转化为代数问题，把代数与几何结合起来，开创了数学发展的新纪元。又如，在现代数学人们把函数看成一个个“点”，把一类函数的全体看作一个“空间”，由此引出无穷维空间的概念，这也是成功地运用数形结合的思想方法的结果。从表面上看，中学数学的内容可分为形与数两大部分，代数是研究数与数量关系的主要学科。然而事实上，在中学数学各分科教学中都渗透了数形结合的内容与思想。例如，研究实数与数轴相结合，研究复数与复平面上点的坐标结合，研究函数与其图象相结合，研究平面上的直线与二元一次方程结合，研究圆锥曲线与二元二次方程相结合，研究集合与韦恩图相结合等等。数形结合的思想方法在数学教学中具有十分重要的意义，运用这种思想方法去解决数学问题，常常可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化。作为数形结合的具体方法，主要有解析法、复数法、三角法、图解法等等。一般说来，把几何问题转化为代数问题，常用解析法、复数法、三角法等；而把数量关系问题转化为图形性质问题，则常用图解法、解析法、几何法等。（四）分解组合思想有些数学问题较复杂，不能一下子以统一的形式解决，这时可考虑先把整个研究范围分解为若干个局部问题，分别加以研究，然后再通过组合各个局部的解答而得到整个问题的解答，这种思想就是分解组合思想，其方法称为分类讨论法。在中数里，研究含字母的绝对值问题，一元二次方程根的讨论，解不等式，函数单调性的研究，圆周角与对同弧的圆心角关系定理，弦切角定理，正弦定理，三角函数诱导公式的推导，二次曲线的讨论，排列组合问题以及各种含参数的问题的研究等等，无不体现了分解组合的思想。对于复杂的数学题，特别是一些综合题，运用分解组合的思想方法去处理，可以帮助人们进行全面严谨的思考和分析，从而获得合理有效的解题途径。2008-3-2011:24回复60.2.23.*3楼（五）集合对应思想集合与对应是现代数学最基本最原始的概念之一，我们不能用其它更基本的概念给它们下定义，所以也把它们叫做不定义概念或原始概念。对于这些不定义概念，我们只能作描述性的说明。中数教材从学生已有的知识出发，分别用数、点、图式、整式以及物体等实例引入集合的概念，这样既便于学生接受，也让学生体会到集合的概念如同其它数学概念一样，都是从现实世界中抽象出来的。整个数学的许多分支如近世代数、实变函数、泛函分析、拓扑学、概率统计等等几乎都是建立在满足各种不同条件的集合之上，都可以在集合论的范围内形式地加以定义。集合论的许多基本思想方法、符号、定理已广泛地渗透到数学的各个领域，许多涉及数学基础的根本性问题都可归结为关于集合论的问题，因此法国的布尔巴基学派把集合论称为“数学的基础结构”。此外，集合思想还广泛地渗透到自然科学的许多领域，集合术语在科技文章和科普读物中比比皆是，让中学生掌握集合的初步知识，可以使学生对初等数学中的一些基本概念理解得更深刻，表达得更明确，同时也可为以后学习一般科技知识和近代数学准备必要的条件。（六）方程函数思想方程与函数是中学数学的重点内容，占了相当多的份量，其中某些内容既是重点又是难点，例如，列方程（组）解应用题，函数的定义和性质，反函数的概念，平面解几里曲线的方程，方程的曲线的概念等等。方程的思想和函数的思想是处理常量数学与变量数学的重要思想，在解决一般数学问题中具有重大的方法论意义。在中学数学里，对各类代数方程和初等超越方程都作了较为系统的研究。对一个较为复杂的问题，常常先通过分析等量关系，列出一个或几个方程或函数关系式，再解方程（组）或研究这函数的性质，就能很好地解决问题。例如算术中较为复杂的四则应用题，利用方程（组）去解就变得非常容易；在几何中求异面直线之间的距离问题，利用函数极值的方法也往往显得简便。三、中学数学方法中学数学的具体方法丰富多彩，例如类比法、归纳法、演绎法、观察法、实验法、分析法、综合法、比较法、分类法、抽象和概括、联想法、具体化、特殊化、系统化、变换法、构造法、RMI方法、交集法、递推法、特征法、待定系数法、解析法、参数法、图解法、三角法、代数法、几何法、复数法、面积法、数学归纳法、数形结合法、反证法、同一法、配方法、非标准化法等等。深入地分析这些方法，我们可以发现：①方法本身具有层次性②方法在应用上具有综合性。③方法往往具有各自不同的适用性。④方法本身也在不断完善之中，具有发展性。（一）观察法观察就是以人们的感知为基础，有目的有选择的认识事物的本质和规律的一种方法。数学观察则是人们对数学问题在客观情境下考察其数量关系及图形性质的方法。观察是思维的窗口，观察与思考是紧密结合在一起的。在中学数学教学里，应引导学生掌握正确的观察方法，揭示数学的本质、特点和规律。（二）实验法实验，是人们根据一定的研究目的，运用一定的手段（或工具、设备等），在人为控制或模拟的条件下，排除干扰，突出主要因素，从而有利于进行观察、研究、探索客观事物的本质及其规律的一种科学研究方法。（三）比较比较，就是把研究对象的个别部分或个别特征分出来，以确定它们的相同点和不同点的思维方法。比较可在同类对象中进行，也可在不同类对象中进行，或在同一对象的不同方面、不同部分之间进行。为了进行比较，先要把研究对象的某一整体分解为部分，区别其特征，这就是分析；同时又要把它们相应的部分联系起来，确定其异同，这就是综合。因此，比较过程中既有分析，又有综合。“有比较才有鉴别”；“在比较中认识一切”。比较是分类、类比等方法的基础，也是数学教学和研究的一种重要方法，加强比较的教学，有利于学生掌握概念、法则，启迪思维，发现规律，突破教学中的难点。2008-3-2011:24回复60.2.23.*4楼（四）抽象和概括１.抽象，是人们在感性认识的基础上，透过现象，深入里层，抽取出事物的本质特征、内部联系和规律，从而达到理性认识的思维方法。抽象的过程离不开比较、归纳、分析、综合，要经过“去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里”的加工制作过程，排除那些无关的或非本质的次要因素，抽取出研究对象的重要特征、本质因素、普遍规律与因果关系加以认识，从而为解答问题提供某种科学依据或一般原理。２.概括，即把抽象出来的若干事物的共同属性归结出来进行考察的思维方法。概括是人们追求普遍性的认识方式