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学而思2011年春季班第2讲鸡兔同笼郭艳六级下·基础-提高-尖子1/6第二讲鸡兔同笼基本概念：鸡兔同笼是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。鸡兔问题又称为置换问题，通过假设统一成一种动物，再把假设错的那部分在置换出来。一、基本型（告诉头和、腿和）（一）假设法（核心方法，同学们可通过画图来帮助理解）1、假设全是鸡（兔子投降法）2、假设全是兔（鸡拄双拐法）做题步骤：①假设全是鸡，算总腿数②找总差（共少算腿数）③找单位差（一只兔子少算腿数）④总差÷单位差=兔子数（如果假设全是兔，则先算出的是鸡的数量）（二）砍腿法（不通用）1、砍去一半腿：总腿数÷2=半腿数2、半腿数-总头数=兔子数（只鸡1条腿，一只兔2条腿，如果全是鸡，腿数和头数应该相等，如果有一只兔子，就多1条腿，有两只兔子，就多2条腿……所以，腿比头多多少，就有多少兔）3、总头数-兔子数=鸡数例1、鸡兔共35只，每只鸡2条腿，每只兔4条腿，共有100条腿，请问几只鸡？几只兔？假设法：假设全是鸡，假设总腿数：35×2=70（条）与实际相比腿少算总数：100-70=30（条）一只兔子少算腿：4-2=2（条）被少算腿的兔子：30÷2=15（只）鸡：35-15=20（只）假设全是兔，总腿数：35×4=140（条）与实际相比腿多算总数：140-100=40（条）一只鸡多算腿：4-2=2（条）被多算腿的鸡：40÷2=20（只）兔子：35-15=20（只）砍腿法：半腿数：100÷2=50（条）兔子：50-35=15（只）鸡：35-15=20（只）【注意】砍腿法是《孙子算经》中记载的.做一次除法和一次减法,马上能求出兔子数,35只……学而思2011年春季班第2讲鸡兔同笼郭艳六级下·基础-提高-尖子2/6多简单!能够这样算,主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍.可是,当其他问题转化成这类问题时,脚数就不一定是4和2,上面的计算方法就行不通。二、基本型的应用做题找关键：1、什么是“鸡兔”2、什么是“腿”题型本质：1、有两种东西（鸡、兔）2、这两种东西都有同一个特征（腿），但特征的数不一样（鸡2条腿，兔4条腿）例2、熔熔宝宝平时有存储零花钱的好习惯，今天要出去买文具，打开存钱罐数了一数，里面有5角和1元的硬币共25枚，总钱数为19元。这两种硬币各有多少枚？解析：两种东西（两种硬币）对应鸡、兔，两种硬币的面值对应鸡、兔的腿。假设法：假设都是5角的，总钱数：5×25=125（角）假设都是1元的，总钱数：1×25=25（元）总差：190-125=65（角）总差：25-19=6（元）单位差：10-5=5（角）单位差：10-5=5（角）一元：65÷5=13（枚）5角：60÷5=12（枚）5角：25-13=12（枚）一元：25-12=13（枚）【注意】运算过程中要统一单位。例3、燕兴小学举行数学竞赛，共20道题，做对一题得5分，没做或做错一题都要倒扣2分张丽得了79分，问她作对了几道题？解析：两种东西——对题，错题（共20道）一种特征——分特征数不一样——对题+5分，错题-2分（共得79分，注意，扣2和得2一样吗）假设法：假设全对，总分：5×20=100（分）总差：100-79=21（分）单位差：5+2=7（分）…单位差是单位量的差距，一个题做对与做错相差7分错题：21÷7=3（道）对题：20-3=17（道）【注意】单位差的找法，本题先假设全是错题也可以做，但是负数，我们现在不好理解。【基础班学案2】小松鼠采松果，晴天每天采10个，雨天每天采6个，一连几天采了80个，平均每天采8个，那么其中几天是雨天呢？解析：两种东西——晴天，雨天一种特征——松果特征数不一样——晴天10个，雨天6个（共80个）总天数没有告诉啊？计算：80÷8=10（天）假设法：假设全是晴天，总松果：10×10=100（个）总差：100-80=20（个）单位差：10-6=4（个）学而思2011年春季班第2讲鸡兔同笼郭艳六级下·基础-提高-尖子3/6雨天：20÷4=5（天）假设全是雨天的方法同学们自己试试吧。【提高班学案3】理想小学150名教师参加新年联欢会，其中有一个趣味游戏，要求男教师2人一组，女教师3人一组，结果共分了62组，恰好分完。请问：女教师有多少人？男教师有多少人？解析：两种东西——男教师组、女教师组（共62组）一个特征——每组人数特征数不一样——男教师组2人、女教师组3人（共150人）假设法：全为男教师组，总人数：62×2=124（人）少了：150-124=26（人）一组女教师少算：3-2=1（人）女教师组：26÷1=26（组）女教师：26×3=78（人）男教师：150-78=72（人）假设全是女教师组的方法同学们自己试试吧。【补充拓展1】一百个和尚刚好喝一百碗粥，一个大和尚喝三碗粥，三个小和尚喝一碗粥，那么大小和尚各多少个？解析：两种东西——大和尚，小和尚一种特征——粥特征数不一样——大和尚3碗，小和尚1/3碗（分数的计算还没学啊，怎么办？）遇到分数——扩倍！把一个大碗分成3个小碗，这样一个小和尚就喝1小碗，一个大和尚喝3×3=9小碗，一共喝了3×100=300小碗。假设法：假设是小和尚，总粥：1×100=100（碗）总差：300-100=200（碗）单位差：9-1=8（碗）大和尚：200÷8=25（个）小和尚：100-25=75（个）假设全是大和尚的方法同学们自己试试吧。【补充拓展2】传说9头鸟有9头1尾，9尾鸟有9尾1头。今有头580个，尾900个，问9头鸟和9尾鸟各几只?假设法：假设全是9尾鸟（头正好是整数），则有头900÷9=100（个），总差：580-100=480（个）……假设的头比实际少480个，需要增加480个头单位差：9×9-1=80（个）……要增加头，就要把9尾鸟换成9头鸟，注意，要尾巴数量不变，1只9尾鸟对应要换成9只9头鸟，头增加了80个。替换的9尾鸟只数：480÷80=6（只）9尾鸟：100-6=94（只）9头鸟：6×9=54（只）【注意】：本题与之前的题的区别是总的“只数”并没有告诉，所以在“替换”时要注意并不是学而思2011年春季班第2讲鸡兔同笼郭艳六级下·基础-提高-尖子4/6保持“只数”不变，不是一只9尾鸟换一只9头鸟。三、“差量“型牢记：1、兔脚=鸡脚时，鸡数是兔数的2倍（3个头一组，1兔2鸡组合捆绑）2、兔=鸡时，兔脚是鸡脚的2倍（6条腿一组，1鸡1兔组合捆绑）解题方法：方法一：变一样（头同或脚同）——①去掉多的②补上少的1、和倍法2、捆绑法方法二：假设法例4、鸡兔同笼，鸡兔共107只，兔脚比鸡脚多56只，问鸡兔各多少只？假设法：兔脚多，那就假设全是兔（没有鸡脚），兔脚就比鸡脚多：4×107=428（只）总差：428-56=372（只）……总差指假设的和实际的差距，假设兔脚比鸡脚多428只，实际只多56只，相差了372只。单位差：4+2=6（只）……一只兔变成一只鸡，兔脚-4，鸡脚+2，兔脚鸡脚的差距减少6只。鸡数：372÷6=62（只）兔数：107-62=45（只）变一样：兔脚多，要把兔脚鸡脚变成一样，两种方法——①去掉兔脚②补上鸡脚①去掉兔脚（卖兔）卖兔多少只：56÷4=14（只）现有鸡兔多少只：107-14=93（只）兔脚=鸡脚时，鸡=2兔（3个头一组，1兔2鸡组合捆绑），93只里，兔子占1份，鸡占2份。兔的只数：93÷（1+2）=31（只）31+14=45（只）……别忘了卖的那14只兔子鸡的只数：107-45=62（只）或31×2=62（只）②补上鸡脚（买鸡）买鸡多少只：56÷2=28（只）现有鸡兔多少只：107+28=135（只）兔脚=鸡脚时，鸡=2兔（3个头一组，1兔2鸡组合捆绑），135只里，兔子占1份，鸡占2份。兔的只数：135÷（1+2）=45（只）鸡的只数：107-45=62（只）或45×2-28=62（只）注意：当鸡脚=兔脚时，和倍法与捆绑法做法相同。【尖子班学案4】鸡兔同笼，鸡比兔多26只，兔脚鸡脚共274只，问鸡兔各多少只？假设法：鸡多，那就假设全是鸡，没有兔，那就应该是26只鸡，0只兔。总脚数：2×26=52（只）总差：274-52=222（只）单位差：4+2=6（只）……要增加脚，就要买兔买鸡，本题的关键在学而思2011年春季班第2讲鸡兔同笼郭艳六级下·基础-提高-尖子5/6于要保持鸡比兔多26只，只能一只鸡搭配一只兔买进，即一对一对地买。买一对就增加6只脚。兔数：222÷6=37（只）鸡数：37+26=63（只）变一样：鸡多，要把兔鸡变成一样多，两种方法——①去掉鸡②补上兔①去掉鸡（卖鸡）卖26只鸡，相当于卖出脚：26×2=52（只）现有脚：274-52=222（只）兔=鸡时，兔脚是鸡脚的2倍（6条腿一组，1鸡1兔组合捆绑）捆绑法:和倍法：兔的只数：222÷（2+4）=37（只）鸡的脚数：222÷（1+2）=74（只）鸡的只数：37+26=63（只）鸡的只数：74÷2+26=63（只）兔的只数：63-26=37（只）②补上兔（买兔）买26只兔，相当于买进脚：26×4=104（只）现有脚：274+104=378（只）兔=鸡时，兔脚是鸡脚的2倍（6条腿一组，1鸡1兔组合捆绑）捆绑法：和倍法：鸡的只数：378÷（2+4）=63（只）鸡的脚数：378÷（1+2）=126（只）兔的只数：63-26=37（只）鸡的只数：126÷2=63（只）兔的只数：63-26=37（只）四、多个量的鸡兔同笼方法：组合法（“三”变“二”）——根据相同特征进行组合（在“三”变“二”时，利用题目中数量比例关系,把两种东西合并组成一种，种数减少到2种，不就是简单的鸡兔同笼了吗）例5、有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，2对翅膀；蝉6条腿，1对翅膀），三种动物各有多少只？解析：蜻蜓、蝉都是6条腿，把蜻蜓和蝉看成一种动物，比如取名叫“六腿”，“六腿”和蜘蛛都有一个特征（腿），不就是简单的“鸡兔同笼”了吗？假设全是蜘蛛：总腿数为：8×18=144（条）总差：144-118=26（条）单位差：8-6=2（条）“六腿”只数：26÷2=13（只）蜘蛛只数：18-13=5（只）接着蜻蜓和蝉两种动物，都有特征——翅膀，又是简单的“鸡兔同笼”，用假设法。假设全是蝉，总翅膀数：1×13=13（对）总差：20-13＝7（对）单位差：2-1=1（对）蜻蜓只数：7÷1=7（只）蝉：13-7=6（只）学而思2011年春季班第2讲鸡兔同笼郭艳六级下·基础-提高-尖子6/6【注】：回忆砍腿法，蝉1个头就1对翅膀，如果多出来的翅膀一定是蜻蜓“贡献”的，多一对翅膀就是有1只蜻蜓，所以蜻蜓应有20-13=7（只）。但是砍腿法不是每个题都适用，为了避免同学们混淆，所以同学们还是把假设法用熟吧。例6、某人领得工资240元，有2元、5元、10元三种人民币一共50张，其中2元和5元的张数一样多，那么三种人民币各有多少张？解析:分组法：2元和5元的张数一样多，因此把它们合为一组，称为“7元组”，2张10元的合为一组，称为：“20元组”，共合成了：50÷2=25（组），这样就转化为2种的鸡兔同笼问题。假设全是“7元组”，总钱数：7×25=175（元）总差：240-175=65（元）单位差：20-7=13（元）20元组：65÷13=5（组）10元张数：5×2=10（张）2元、5元张数：（50-10）÷2=20（张）假设全是“20元组”的方法同学们自己试试吧。平均数法：2元和5元的张数一样多，因此把它们平均一下，变成一种人民币，即称为“3元5角”，这样就转化为2种的鸡兔同笼问题。假设全是10元的，总钱数：10×50=100（元）总差：500-240=260（元）单位差：100-35=65（角）„„注意统一单位3元5角：2600÷65=40（张）2元、5元：40÷2=20（张）10元：50-40=10（张）假设全是10元的方法同学们自己试试吧。运用熟练后，可以用鸡兔同笼的几个综合公式：公式1：鸡的只数=（兔的脚数×总只数－总