直线与圆知识点总结

1xy2O直线与圆1、直线的倾斜角与斜率：tank，当∈[0°,90°）时，斜率k∈[0，+∞）；当∈（90°,180°）时，斜率k∈（－∞，0）。过两点111(,)Pxy、222(,)Pxy的直线斜率公式：2121yykxx.2、直线的五种方程：⑴点斜式：00()yykxx(直线l过点00(,)Pxy，且斜率为k)．⑵斜截式：ykxb(k为直线的斜率，b为直线l在y轴上的截距).⑶两点式：112121yyxxyyxx(12yy且12xx)(111(,)Pxy、222(,)Pxy).⑷截距式：1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，且0ab、)⑸一般式：0AxByC(其中A、B不同时为0).3、两条直线平行和垂直的等价关系：(1)若111:lykxb，222:lykxb，则①121212||,llkkbb②12121llkk；(2)若1111:0lAxByC,2222:0lAxByC,且A1、A2、B1、B2都不为零；①11112122112212220ABCl||lABABCCABC或且BB；②1212120llAABB；4、直线l:0AxByC⑴与l平行的直线方程设为：0AxBy（C）为参数⑵与l垂直的直线方程设为：0BxAy（为参数）5、两点间距离公式：222122121()()PPxxyy｜｜＝（其中两点为111(,)Pxy、222(,)Pxy）6、点到直线的距离公式：0022||AxByCdAB(点00(,)Pxy，直线l：0AxByC).7、两条平行直线间的距离公式：2122||CCdAB(直线1l：10AxByC，2l：20AxByC).8、圆的两种方程：⑴圆的标准方程222()()xaybr（圆心为(,)ab，半径为r）.⑵圆的一般方程220xyDxEyF(2240DEF).（圆心为(,)22DE，半径为2242DEFr）9.求圆的方程时，凡是涉及到圆心或半径均设为标准方程，否则设为一般方程。10、点与圆的位置关系：点00(,)Pxy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种，若2200()()daxby，则dr点P在圆外；dr点P在圆上；dr点P在圆内.11、直线与圆的三种位置关系：直线l：0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系判断的两种方法:⑴设圆心(,)ab到直线l的距离22BACBbAad，则drdrdr相离；相切；相交。⑵将直线代入圆的方程消去y，得到关于x的一元二次方程，再利用判断：即：000相交；＝相切；相离。12、两圆位置关系的判定方法：设两圆圆心分别为12OO、，半径分别为12rr、，dOO21，则：⑴条公切线外离421rrd；⑵条公切线外切321rrd;3⑶条公切线相交22121rrdrr；⑷条公切线内切121rrd;⑸无公切线内含210rrd13、圆C的切线方程：①过圆外一点平P的切线方程可设为00()yykxx，再利用d=r求k，这时必有两条切线，若方程只有一个解，则另一切线为0xx②若已知切点P00(,)xy在圆上，则只有一条切线.1k利用lPCk求出斜率，点斜式写切线方程。14.中点弦问题：过圆C内一点两点，,）作直线与圆交于,x（00BAyPP为A,B中点利用ABPC求AB斜率，用点斜式求AB方程。15.圆的切线长公式：16.与圆相关最值问题（1）直线l与圆C相离，圆上动点P到l距离的最大值为最小值为（2）直线l与圆C相切，圆上动点P到l距离的最大值为最小值为（3）直线l与圆C相交，圆上动点P到l距离的最大值为最小值为（4）直线l与圆C相离，圆上动点P与直线l上动点A连线距离的最大值为最小值为（5）直线l与圆C相离，过直线l上动点P作圆的切线，则切线长PA的最小值为（6）z=ax+by,z的最大(小)值求法：当直线ax+by-z=0与圆相切时z有最值。利用圆心到直线距离d=r求z的最值。（7）最值求法axbyz（看几何意义：斜率）z表示圆上动点P与定点A（a,b）连线的斜率，即z=PAk4（8）最值求法)()(22byaxz（看几何意义：距离）z表示圆上动点P与定点A（a,b）连线的距离，即z=AP（9）最值求法)()(22byaxz（看几何意义：距离的平方）z表示圆上动点P与定点A（a,b）连线的距离，即z=AP2（10）最值求法)()(22tbyaxz（看几何意义）z表示圆上动点P与定点A（a,b）连线的距离，即z=AP2+t(11)圆，,相离，各取一动点与圆21BACC则AB最大值为，最小值为(12)圆，,外切，各取一动点与圆21BACC则AB最大值为，最小值为(13)圆，,相交，各取一动点与圆21BACC则AB最大值为，最小值为(14)圆，,内切，各取一动点与圆21BACC则AB最大值为，最小值为(15)圆，,内含，各取一动点与圆21BACC则AB最大值为，最小值为17.两相交圆交于A,B两点（1）相交弦AB求法：两圆方程相减，消去平方项即可。（2）相交弦AB长度求法：5类型一：圆的方程6例1求满足下列各条件的圆方程：圆心在原点，半径为23；圆心是点C（3，-2），半径为3；圆心是点C（8，-3），且经过点P（5,1）；④以点P（-5,6）和Q（5，-4）为直径的端点的圆方程；⑤已知ABC三个顶点分别为5,5,2,2,5,1CBA,求其外接圆的方程；注意：（1）若圆上三个点的坐标，通常选用圆的一般方程，若给出圆心的位置，通常选用标准方程；（2）根据条件列出rba,,或FED,,的方程组。例2、求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆心在直线0y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关系．7练习：求过两点1,0,5,6BA且圆心在直线09103yx上的圆的标准方程。例3、求经过点)5,0(A，且与直线02yx和02yx都相切的圆的方程．8例4、求与x轴切于点（5,0）并在y轴上截得的弦长为10的圆的标准方程。圆心的位置：在任一弦的中垂线上；在过切点与切线垂直的直线上；两圆外切或内切时，切点与两圆圆心三点共线。类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5、已知圆422yxO：，求过点42，P与圆O相切的切线．9例6、过坐标原点且与圆0252422yxyx相切的直线的方程为例7、已知直线0125ayx与圆0222yxx相切，则a的值为.类型三：弦长、弧问题例8、求直线063:yxl被圆042:22yxyxC截得的弦AB的长.例9、求圆心为C（2，-1），且截直线1xy所得弦的长为22的圆方程。10例10、直线0323yx截圆422yx得的劣弧所对的圆心角为例11、求两圆0222yxyx和522yx的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例12、已知直线0323yx和圆422yx，判断此直线与已知圆的位置关系.例13、若直线mxy与曲线24xy有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.11例14、圆9)3()3(22yx上到直线01143yx的距离为1的点有几个？类型五：圆与圆的位置关系例15判断圆02662:221yxyxC与圆0424:222yxyxC的位置关系。例16、圆0222xyx和圆0422yyx的公切线共有条。例17、若圆042222mmxyx与圆08442222mmyxyx相切，则实数m的取值集合是.12例18、求与圆522yx外切于点)2,1(P，且半径为52的圆的方程.