微积分在大学物理中的几点应用

毕业设计（论文）题目：微积分的几点物理应用学院：数理学院专业名称：应用物理学号：200941220103学生姓名：孙川指导教师：李建2013年05月18日摘要毕业设计（论文）1微元法在物理学中应用非常普遍.在大学物理学中,从静电场到恒定磁场，从质点的运动学到刚体的力学，都要遇到用微积分来解决的问题.本论文主要探讨的是在大学物理学习中,应用微积分方法解决问题时几个问题.微积分主要思想和方法利用微元法处理比较复杂物理问题时,可以先把它分割成许多在较小时间、空间等范围内的可以近似处理的基本问题,然后再对此可研究的简单的基本问题进行讨论,最后再把所有局部范围内研究的结果累积起来,就可以得到问题结果.在理论分析时,把分割过程无限地进行下去,局部范围便会无限地小下去,这就是微分;把所有的无限多个微分元的结果进行叠加,便是积分.这就是微积分的主要思想和方法,是一种辩证的思想和分析方法关键字微积分微元法质点力学刚体力学电磁学毕业设计（论文）2AbstractCalculusisquitecommoninphysics.InCollegePhysics,fromtheparticlemotionmechanicstoparticledynamicsmechanics,boththeelectrostaticfieldandaconstantmagneticfieldmeetthequestionwhichneedsusethecalculus.Thisarticlemainlydiscussesthelearningofuniversityphysics;AppliedCalculusapproachtotheproblemshouldpayattentiontoseveralissues.Themainideasandmethodsofthecalculus,usingthecalculusmethodtodealwithmorecomplexphysicalproblems.It’sfirst“breakupthewholeintoparts“,itisdividedintomanysmallertime,spaceEtc.withintherangeofprocessingofthebasicCanbeapproximated.Then,toresearchsimplequestionsholddiscussion.Lastly,“Zeroforthewholeplot”,withinthescopeofalltheresultofstudyAccumulated.Theresultscanbeobtained.Intheoreticalanalysis,thesegmentationprocessiscarriedonunlimited.ThenLocalscopeNarrowdownunlimited.Thisisdifferentiation.AlltheDifferentialelementSuperimposed,itisintegralcalculus.Thisisthemainideasandmethodsofthecalculus.Isakindofdialecticalthinkingandanalyticalmethods.KeywordsCalculusMicro-elementmethodParticlemechanicsRigidbodymechanicsElectricityandMagnetism毕业设计（论文）3目录第一章绪论.....................................................................................................................4第二章微积分在质点力学中的应用...........................................................................52.1用微积分解决速度和加速度的问题...............................................................52.2用微积分解决变力做功问题............................................................................8第三章定积分在计算刚体转动惯量中的应用...........................................................9第四章定积分在电场强度以及电势计算中的应用...................................................114.1、定积分在电场强度计算中的应用................................................................114.2、定积分在电势计算中的应用........................................................................12参考文献.........................................................................................................................15致谢.............................................................................................................................16毕业设计（论文）4第一章绪论伟大的科学家牛顿,有很多伟大的成就,建立了经典物理理论,比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外,在数学上也有伟大的成就,创立了微积分.微积分（Calculus）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支.微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的.微积分最重要的思想是用微元和无限逼近,就像一个事物始终在变化,很难研究,但通过微元分割成许多无限小,那就可以认为是常量处理,最终加起来就是积分.微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，那么“无限求和”就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是要运用一种运动的思想来看待问题。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一，在大学物理中，微积分思想发挥了极其重要的作用。微积分方法是一种辨证思想方法,它包含有限与无限的对立统一,近似与精确的对立和统一.它把复杂物理问题进行时间和空间上的有限次分割，在有限小的范围内进行近似处理,然后让分割无限地进行下去,局部范围无限的变小,那么近似处理也就会越来越精确,这样在理论上就能得到精确的结果.微分就是理论分析时，把分割过程无限的进行下去,局部范围便无限小下去.积分就是把无限小的微分元求和这,就是微积分的方法.物理学就是要抓住主要方面，忽略次要方面,从而使得复杂问题简单化,因此在大学物理中应用微积分方法,能够把看似复杂的问题近似成简单、基本、可研究问题.物理现象及其规律研究都是以最简单的现象和规律为基础,例如质点运动学是从匀速、匀变速的直线运动开始,带电体产生的电场是以点电荷为基础的,对于实际中复杂问题,则可化整为零,把它分割成在较小时间、空间等范围内的相应局部问题，只要把局部范围被分割到足够小,小到这些局部问题可近似处理为简单、基本、可研究地问题，然后把局部范围内结果累积起来，就可以得出问题的结果.毕业设计（论文）5yxzzyxP图1-2r第二章微积分在质点力学中的应用2.1用微积分解决速度和加速度的问题1.位置矢量定义：由坐标原点到质点所在位置的矢量称为位置矢量（简称位矢或径矢）。如图选取的是直角坐标系，r为质点P的位置矢量kzjyixr因为x、y、z都是时间的函数，既)(txx；)(tyy；)(tzz因此ktzjtyitxtrr)()()()(，可以反映任意t时刻质点的位置，因此把上式称作质点的运动方程。2．位移在Oxy平面直角坐标系中，有一个质点由时刻t1，起始位置A处，经过21ttt时间后，质点运动到了位置B处，质点的位矢由Arr变化到Br处。由始点A指向终点B的有向线段AB称为点A到点B的位移矢量，简称位移。可用ABr或r表示。矢量Ar，Br，r刚好为三角形的三边，由三角形法则可以得出r=Br-Ar3.速度为了描述质点运动快慢及方向，从而引进速度概念。(1)平均速度在时刻t时间内，质点的位移为r，那么二者的比值，称为质点在t时间内的平均速度rxyzvijkttxt，毕业设计（论文）6平均速度描述物体的运动是比较粗糙的，因为在t时间内，质点的各个时刻的运动情况不一定相同，质点的运动可以时快时慢，方向也可以不断地改变，平均速度不能反映质点运动的真实细节，如果要精确到质点在某一刻时刻或某一位置的实际运动情况，应使t尽量小，即0t，用平均速度的极限值——瞬时速度来秒速。(2)瞬时速度瞬时速度即为平均速度的极限值dtrdtrvt0lim即瞬时速度（速度）为位置矢量对时间的一阶导数速度在直角坐标系下表达式为：xyzdrdxdydzvijvivjvkdtdtdtdtxdxvdt,ydyvdt,zdzvdt3.加速度同理加速度应该为位置矢量对时间的二阶导数，速度对时间的一阶导数，22dtrddtvda直系分解形式：222222yxzdvdvdvdvdxdydzaijzijkdtdtdtdtdtdtdt这就是说，质点在某时刻或某位置的(瞬时)加速度等于速度矢量对时间的一阶导数，或等于位置矢径对时间的二阶导数。例题1、一质点在xOy平面上运动，运动方程为x=3t+5,y=21t2+3t-4.式中t以s计，x,y以m计．(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出质点速度矢量表示式，计算t＝4s时质点的速度；(3)求出质点加速度矢毕业设计（论文）7量的表示式，计算t＝4s解：（1）jttitr)4321()53(2m(2)1sm)3(3ddjtitrv则jiv7341sm(3)2sm1ddjtva由例题1可知，由运动方程求速度、加速度，这类问题主要是用求导的方法解决例题2已知一质点作直线运动，其加速度为a＝4+3t2sm，开始运动时，x＝5mv=0，求该质点在t＝10s时的速度和位置．解：∵ttva34dd分离变量，得ttvd)34(d积分，得12234cttv由题知，0t,00v,∴01c故2234ttv又因为2234ddtttxv分离变量，tttxd)234(d2积分得232212cttx由题知0t,50x,∴52c故521232ttx所以s10t时m70551021102sm190102310432101210xv毕业设计（论文）8由例题2知、已知加速度（或速度）以及初始条件求运动方程，这类问题主要用积分的方法2.2用微积分解决变力做功问题功：力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。元功cosdAFdrdAFdr变力所作的功cosbbaaAdAFdrFdr直角坐标系中()BbxyzAaAFdrFdxFdyFdz说明：①功是力对空间的累积；②合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。例题3选取弹簧自然伸长处为x坐标的原点，当弹簧形变量为