函数项级数一致收敛性判别法归纳

函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳一定义引言设函数列nf与函数f定义在同一数集D上，若对任给的正数，总存在某一正数N，使得当Nn时，对一切Dx，都有xfxfn则称函数列nf在上一致收敛于xf，记作xfxfnn，Dx设xun是定义在数集E上的一个函数列，表达式,21xuxuxunEx)1(称为定义在E上的函数项级数,简记为xunn1或xun；称xuxSnkkn1,Ex,,2,1n)2(为函数项级数)1(的部分和函数列．设数集D为函数项级数1)(nnxu的收敛域，则对每个Dx，记1)()(nnxuxS，即DxxSxSnn),()(lim，称)(xS为函数项级数1)(nnxu的和函数，称)()()(xSxSxRnn为函数项级数)(xun的余项．定义1]1[设)(xSn是函数项级数)(xun的部分和函数列，若)(xSn在数集D上一致收敛于函数)(xS，或称函数项级数)(xun在D上一致收敛于)(xS，或称)(xun在D上一致收敛．由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来确定，所以可以根据函数列一致收敛性定义得到等价定义．定义2]1[设)(xSn是函数项级数)(xun的部分和函数列，函数列)(xSn，和函数)(xS都是定义在同一数集D上，若对于任给的正数，总存在某一正整数N，使得当Nn时，对一切Dx，都有)()(xSxSn，则称函数项级数)(xun在D上一致收敛于函数)(xS，或称)(xun在D上一致收敛．同时由)()()(xSxSxRnn，故)(xRn在Dx上一致收敛于0．定义3设函数项级数)(xun在区间D上收敛，其和函数为1)()(nnxuxS，部分和函数列nknnxuxS1)()(，若0o，NN，Nno及Dx，使得onxsxso)()(，则函数项级数)(xun在区间D上非一致收敛．例1试证1nnx在rr,）10(r上一致收敛，但在)1,1(内不一致收敛．证明显然1nnx在)1,1(内收敛于xx1．对任意的0，欲使当Nn和rxr时，恒有xxxxxnnkk1111成立,只要当Nn时,恒有rrn11成立,只要当Nn时,恒有rrnlg1lg1成立,只要当Nn时，恒有rrnlg1lg成立，只要取rrNlg1lg即可．依定义，1nnx在rr,上一致收敛于xx1．存在eo2，对任意自然数N，都存在NNno1和1,121NNxo，使2111111111NonooonkkoNNxxxxxoo成立，依定义，1nnx在)1,1(内不一致收敛．二函数项级数一致收敛性的判定方法定理1Cauchy一致收敛准则]1[函数项级数xun在数集D上一致敛的充要条件为：对0，总NN，使得当Nn时，对一切Dx和一切正整数p，都有xSxSnpn或xuxuxupnnn21或pnnkkxu1特别地，当1p时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件：推论1函数项级数在xun在数集D上一致收敛的必要条件是函数列xun在D上一致收敛于0．定理2]2[函数项级数xunn1在点集D上一致收敛于)(xS的充分必要条件是：0:suplim1DxxSxunknn．定理3放大法]3[xSn是函数项级数xun的部分和函数列,和函数)(xS,都是定义在同一数集D上,对于任意的n,存在数列na0na,使得对于Dx,有nnnaxSxSxR,且0limnna,则称函数列xSn一致收敛于)(xS,即函数项级数xun在D上一致收敛于函数)(xS.证明因0limnna,故对任给的0,NN(与x无关),使得当Nn时,对一切Dx,都有nnnaxSxSxR.由定义2得函数列xSn一致收敛于)(xS,即函数项级数xun在D上一致收敛于)(xS.注:用放大法判定函数项级数xun一致收敛性时,需要知道)(xS.定理4确界法函数项级数在数集D上一致收敛于)(xS的充要条件是0suplimsuplimxSxSxRnDxnnDxn证明充分性设xSn是函数项级数xun的部分和函数列,)(xS为和函数,则有xSxsxRnn，并令xRanDxnsup，而0suplimxRnDxn，即0lim0nna,由定理3(放大法)得知函数项级数xun一致收敛于函数)(xS.必要性注：实质上是用极值的方法把一致收敛问题转化为求数列极限的问题．定理5若xun在区间D上收敛,则xun在D上一致收敛的充要条件是Dxn,有0limxRnn.证明充分性假设xun在D上不一致收敛,则0o,Dxn,使得onxSxS,如此得到Dxn,但0limnnnxR,这与已知条件矛盾.必要性因已知xun在D上一致收敛,所以N,0,使得当Nn时,对一切Dx,都有xSxSn,对于Dxn,则有nnnxSxS,即nnxR,得0limnnnxR.例2设0xun，2,1n，在ba,上连续，又xun在ba,收敛于连续函数xf，则xun在ba,一致收敛于xf．证明已知xSxfxRnn（其中nkknxuxS1）是单调递减且趋于0，所以baxNn,,有0xRn，且,,0bax0,,),(00,0xxNnN时,有00xRn.将n固定,令,00xNNn,因为xSxfxRnn在ba,上连续,既然xRn,所以00,当0000,xxx时,0xRn.从而0Nn时更有xRn即xRn,仅当0000,xxx.如上所述,对每个点bax,,可找到相应的领域xx,及相应的N,使得Nn时,对xxx,恒有xRn.如此{xx,:bax,}构成ba,的一个开覆盖,从而必存在有限子覆盖,不妨记为{rrrrxxxx,,,1111},于是bax,,总ri,2,1使得iiiixxx,(),取rNNNN,,max21,那么Nn时,恒有xRn,由定理5得xun在ba,一致收敛于xf.定理6M判别法或优先级判别法或Weierstrass判别法]1[设函数项级数xun定义在数集D上,nM为收敛的正项级数,若对一切Dx,有2,1,)(nMxunx)3(则函数项级数xun在D上一致收敛.证明由假设正项级数xun收敛,根据函数项级数的Cauchy准则,0,某正整数N,使得当Nn及任何正整数p,有pnnpnnMMMM11又由(3)对一切Dx,有xuxuxuxupnnpnn)()()(11pnnMM1根据函数项级数一致收敛的Cauchy准则,级数xun在D上一致收敛.注:若能用从判定1nnxu一致收敛,则1nnxu必是绝对收敛,故M判别法对条件收敛的函数项级数失效.例3函数项级数22cos,sinnnxnnx在,上一致收敛,因为对一切x,有22221cos,1sinnnnxnnnx,而正项级数21n是收敛的.推论2设有函数项级数xun,存在一收敛的正项级数1nna,使得对于,Ix有kkaxunnn0lim,则函数项级数1nnxu在区间I一致收敛证明已知kkaxunnn0lim,即,,,,00IxNnNN有0kaxunn即kaxunn0,从而nnakxu0,又因为1nna收敛,则nnak10也收敛,由M判别法得函数项级数1nnxu在区间I一致收敛.由广义调和级数11npn,当1p时收敛,故当na=pn1时,有推论2设有函数项级数1nnxu,若存在极限kxunnpn)(lim且1,0pk,则函数项级数xun在区间I一致收敛.例4证明函数项级数1)1)((1nnxnx在,0是一致收敛的.证明对于1)1)((1nnxnx,存在收敛的正项级数121nn,且)1)((1lim2nxnxnn1)1)((lim2nxnxnn由的推论2与推论2得,1)1)((1nnxnx在,0一致收敛.定理7比较判别法4两个函数项级数xun与xvn,若NN0,当IxNn,0有xvcxunn)((其中c为正常数),且函数项级数xvn在区间I绝对一致收敛,则函数xun区间I绝对一致收敛.证明已知xvn在区间I绝对一致收敛,即对c0(其中c为正常数),11,NnNN及IxNp,,有cxvxvxvpnnn21；又由条件知IxNnN,,00有xvcxunn)(；取,,max01NNN当IxNpNn,,,有xuxuxupnnn21ccxvxvxvcpnnn21．由收敛级数一致收敛Cauchy准则知，函数项级数)(xun在区间I一致收敛，从而函数项级数xun在区间I绝对一致收敛.定理84若有函数级数xun与xvn,NN0,IxNn,0有xcvxunn)((其中c为正常数),且函数项级数1nnxv在区间I一致收敛,则函数1nnxu区间I绝对一致收敛.证明已知IxNnN,,00,有xvcxunn)((其中c为正常数).又函数项级数1nnxv在区间I绝对一致收敛,即IxNpNnNNc,,,,011,有cxvxvxvxvxvpnnpnnn121)(；取,,max10NNN当IxNpNn,,有xuxuxuxuxuxupnnnpnnn2121xvxvcpnn1cc从而函数项级数xun在区间I绝对一致收敛.推论3比较极限法若有两个函数级数1nnxu与)0(1xvxvnnn,且有kxvxunnnlim且k0,若级数xvn在区间I绝对一致收敛,则函数xun在区间I也绝对一致收敛.证明由kxvxunnnlim且k0,即,,00Nn当IxNn,有0kxvxunn使ckxvxunn0且00kc.即Nn及Ix有xv