重积分论文

《高等数学》——重积分麻安平贵州民族大学建筑工程学院土木一班摘要：高等数学讨论的重积分主要包括二重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。重积分在各种知识领域中的应用非常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其她一些工程学科中碰到它们。重积分主要用来解决实际问题，在本文中，首先我总结一下学习中遇到的重积分的应用，比如求空间立体的体积，空间物体的质量及其在几何和物理方面的应用。关键词：重积分；曲面面积.I.重积分的应用归纳如下:1.1曲面的面积设曲面的方程为，yxfz,在xoy面上的投影为xyD，函数yxf,在D上具有连续偏导数，则曲面的面积为：DyxDdyxfyxfdxdyyfxfA,,112222若曲面的方程为，zygx,在yoz面上的投影为yzD，则曲面的面积为：DzyDdzyfzyfdydzzgygA,,112222若曲面的方程为，xzhy,在zox面上的投影为zxD，则曲面的面积为：DxzDdxzfxzfdzdxxhzhA,,112222例1：计算双曲抛物面xyz被柱面222Ryx所截出的面积A。解：曲面在xoy面上投影为222:RyxD,则DyxdxdyzzA221即有:322222200211113RDAxydxdydrrdrR从而被柱面222Ryx所截出的面积A如上所示。1.2质量1.2.1平面薄片的质量若平面薄片占有平面闭区域D，面密度为yx,，则它的质量为Ddyxm,，其中dyxdm,称为质量元素.1.2.2物体的质量若物体占有空间闭区域，体密度为zyx,,，则它的质量为Ddvzyxm,,例2：由螺线2，与直线2，围成一平面薄片D，它的面密度22yx。求它的质量。yOx解：如图所示，DDdddxdyyxdxdym20202221.3质心1.3.1平面薄片的质心若平面若平面薄片占有平面比区域D，面密度为yx,，则它的质心坐标为：DDdyxymydyxxmx,1,1，其中m为平面薄片的质量.1.3.2物体的质心若物体占有空间闭区域，体密度为zyx,,，则它的质心坐标为：DDDdvzyxmzdvzyxmydvzyxmx,,1,,1,,1，其中m为物体的质量.1.4转动惯量1.4.1平面薄片的转动惯量若平面薄片占有平面闭区域D，面密度为yx,，则它对轴,轴以及对原点的转动惯量分别为:dyxIdxIdyIDDoyDx2222,,1.4.2物体的转动惯量若物体占有空间闭区域，体密度为zyx,,，则它对轴,轴以及对原点的转动惯量分别为:dzyxIdyxIdxzIdyxIozyx222222222,,,例3：求半径为a的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量。y4sin22402sin056sinsinsin73DDydddddd解:建立坐标系如图所示:0:222yayxD221241sinsin00432232DDaxadrrddrdrdxdyyI又半圈薄片的质量221aM.412MaIx.例4：求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量。解:取球心为原点,z轴为l轴,设球所占域为,:2222azyx则.3452132252sinsincossincossin200032543222222222aaMMaadrrddddrdrrrdxdydzyxI1.5引力1.5.1平面薄片对质点的引力若平面若平面薄片占有平面比区域D，面密度为yx,，质量为m的质点位于00,yx，设薄片对质点的引力为yxFFF,，则DxdrxxGmF30,DydryyGmF30其中2020yyxxr,G为引力常数.1.5.2物体对质点的引力若物体占有空间闭区域，体密度为zyx,,，质量为m的质点位于000,,zyx，设薄片对质点的引力为zyxFFFF,,，则drxxGmFox3dryyGmFoy3drzzGmFoz3其中202020zzyyxxr,G为引力常数.例5：求一高R，底面半径为R的密度均匀的正圆锥对其顶点处的单位质点的引力。解:以圆锥的顶点为原点,对称轴为z轴建立直角坐标系,此时圆锥的方程为Rzyx22，设密度为，所求zyxFFFF,,用微元法讨论，在圆锥任意一点zyx,,处取微元d，则此小块质量为d，它对原点处单位质点引力为：rrdGrrrdGFd321，其中.,,,222zyxrzyxr由对称性可知0yxFF，cosFddFz因为rzcos，所以drzGdFz3，从而drzGFz3RGGdRGdzGdRzzzddGdzddzzGRRRRR2222122122022002220002222212323所以，圆锥对位于顶点处的单为质点的引力为RGF22。例6：求半径为R的均匀球2222Rzyx对位于点RaaM,0,00的单位质量质点的引力.解：利用对称性知引力分量0xxFFdazyxazGFz23222。为球的质量342122211232222220023222322222RMaMGaazRdazaRGdzaazRzaazGazrrdrddzazGazyxdxdydzazGRRRRzRRRRRDzII.重积分小谈2.1积分学与微分学积分学与微分学是相对的统一。微分学从微观角度研究问题，而积分从宏观角度。客观世界的认知活动，遵循自然法则，由简单到复杂，由规则到不规则，由均匀到不均匀。对简单的、规则的、均匀的，我们都是建立标准，全地球人都认可的标准，从而建立简单的认识。对复杂的认识，我们必须基于极限这种思想去处理。可以这么说，极限是联系理想世界与客观世界的桥梁。但极限说起来简单，用起来却很值得我们去仔细考虑。2.2浅谈积分学思想积分学只是极限的一个简单应用，但其可以帮助我们解决生活中的很多问题。在此，我从个人角度来谈谈我学习积分的主要思想。一重积分，即定积分，通过NewTon.–Leibniz公式处理，关键是确定原函数，即不定积分。二重积分，基于平行截面面积已知的体积可求性问题，可以将二重积分转换成两个一次积分，分别可基于X型Y型区域去处理。XY型区域的特征是嵌套特征，或者是递推特征。整个计算问题的关键就是积分区域的嵌套表示。“画图投影作直线”是所有积分计算过程的缩影。只不过不同的对象可能有所区别，需要具体问题具体分析。三重积分，可以转换成三次积分，其思想还是遵循嵌套思想，与二重积分一致，关键是积分区域的嵌套表示。将三次积分化简，可遵循先积分一次再两次积分，或着先两次积分再一次积分的思想，其本质是积分区域的不同表现形式。其实，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反应，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分的概念也是某些现实过程的反应，例如可看作是确定具有変密度的物体的质量的过程。必须强调指出的是，定出这些重积分的过程也反应着很多其他的现实过程。如我们文中已提到的物体的质心，转动惯量，引力等的过程。2.3浅谈积分学的计算直角坐标系下的二重积分、三重积分的计算相对来应该比较简单。即只要我们将复杂区域分割为若干个简单区域（就是可以嵌套表示的），则可以回到NewTon–Leibniz公式。三重积分的先一次再两次积分是常用方法。可以向任何一个平面投影，但我们一般向XOY平面投影的。先两次再一次积分适用于某一个变量，如z具有明确上下限，而由z所确定的zD平面区域可以很容易处理，这时候比较容易处理。主要适用于：球体，半球体，锥体，椭球体，以及类形体。关于平面极坐标，空间柱面坐标、极坐标。我们都可以看做是重积分的换元法。因此，换元后微元都发生了改变，（这是尤为要强调记住的）。其它过程则跟直角坐标系下一致。平面极坐标主要适用于积分的区域有：圆域，环域，扇形域，及类区域。柱面坐标本质是对某一个变量，如z，用直角坐标系表示，对XY用平面极坐标表示。强调当XY用极坐标表示后，z也要用半径跟角度表示。其主要适用于：圆柱，圆锥，球体，半球体，等类形体。关于空间极坐标，其主要适用于圆锥，球体，半球体。总之，所有计算方法，都基于积分区域在不同坐标系下的不同表示，主要注意在不同坐标系下的微元即可。参考文献：[1]王贵鹏.数学分析[M].北京：高等教育出版社,2001,6.[2]田国华.数学分析辅导及习题全解[M].北京：人民日报出版社,2007,8.[3]骆一丹.辅导及习题精解[M].上海：同济大学出版社，2004,7.[4]同济大学数学教研组.高等数学学习方法指导书[M].上海：同济大学出版社，1981,10.[5]闫晓红,王贵鹏.数学分析全程导学及学习习题全解[M].北京：中国时代经济出版社,2006,3.[6]强文久,李元章,黄雯荣.数学分析的基本概念与方法[M].上海：高等教育出版社,1989,4.[7]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007，6.