论简谐运动动力学与运动学公式的统一

论简谐运动动力学与运动学公式的统一——用导数、微积分知识推导简谐运动的运动学与动力学公式【摘要】本文通过简谐运动与数学知识的联系，用导数、微积分的知识推导简谐运动的动力学、运动学公式。【研究背景】本人通过对《物理》选修3-4第十一章简谐运动的学习，了解了简谐运动的运动学与动力学性质。但是书中并未给出其具体的证明过程，于是对其开展研究。【正文】根据简谐运动的定义，如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数规律，即它的振动图像（x-t图像）是正弦函数图像，这样的运动叫做简谐运动。接下来我们来证明做简谐运动的质点一定受到随位移均匀变化的合力。由定义可知，质点的位移随时间变化关系x=Asin（𝜔𝑡+φ）(1)对时间求导，即可得到速度随时间变化关系v=dxdt=Aωcos（𝜔𝑡+φ）(2)再次求导，可得加速度随时间变化关系a=𝑑𝑣𝑑𝑡=−𝐴𝜔2sin(𝜔𝑡+𝜑)(3)由牛顿第二定律，可得质点所受合力为F=ma(4)联立（3）（4）可得F=−mAω2sin(𝜔𝑡+𝜑)(5)将(1)代入(5)得F=−mω2𝑥(6)上式中，m与ω都是常数，从而写成F=−kx(7)这就证明了做简谐运动的质点一定受到随位移均匀变化的合力，同时联立(6)(7)得ω=√𝑘𝑚(8)根据周期公式T=2𝜋𝜔可得T=2π√𝑚𝑘以上便是简谐运动的周期公式既然做简谐运动的质点一定受到随位移均匀变化的合力，那么如果一个质点受到随位移均匀变化的合力，是否做简谐运动。答案是肯定的，接下来，我们给出证明。由简谐运动的运动学公式，得到其所受合力随位移的变化关系F=−kx(1)由牛顿第二定律得F=ma(2)联立(1)(2)得a=−𝑘𝑚𝑥(3)对(3)进行积分可得速度的平方随位移的变化关系v2=2∫−𝑘𝑚𝑥0𝑥𝑑𝑥+𝐶=−𝑘𝑚𝑥2+𝐶(4)假设质点处于平衡位置时的速度为𝑣0，则当x=0时，有C=𝑣02(5)将(5)带入(4)即可得到𝑣2𝑣02+𝑘𝑥2𝑚𝑣02=1(6)由sin𝜃2+cos𝜃x2=1可对(6)三角换元v=𝑣0cos𝑓(𝑡)(7)x=√𝑚𝑘𝑣0sin𝑓(𝑡)(8)其中f(t)是一个关于t的函数对(8)式求导可得速度随时间变化关系为v=√𝑚𝑘𝑣0𝑓(𝑡́)cos𝑓(𝑡)(9)联立(8)(9)得𝑓(𝑡́)=√𝑚𝑘(10)通过对(10)积分可得到原函数f(t)=∫𝑓(𝑡́𝑡0)𝑑𝑡=√𝑚𝑘𝑡+𝜑(11)代入(8)得x=√𝑚𝑘𝑣0sin(√𝑚𝑘𝑡+𝜑)(12)上式可化为x=Asin(𝜔𝑡+𝜑)(13)因此联立(12)(13)可得ω=√𝑚𝑘(14)同样可得周期公式T=2π√𝑚𝑘下面我们讨论单摆的周期公式设一摆长为l，球的质量为m，摆线某时刻与竖直线的夹角为θ，小球距离最低点位移为x。其回复力为F=−𝑚𝑔𝑙𝑥(见3-4第14页)因此单摆的小球做简谐运动，且k=𝑚𝑔𝑙代入周期公式得T=2π√𝑙𝑔本人在高中生所能理解的范围内用导数、微积分的知识互相推导出简谐运动的动力学与运动学公式，由此可见，简谐运动的动力学性质与运动学性质是等价的，同时推导过程中又得到了简谐运动的周期公式这一“副产物”。并且在由动力学公式推导到运动学公式时，联立(12)(13)又会发现12𝑘𝐴2=12𝑚𝑣02符合机械能守恒定律，希望大家能够从中体会到数学知识在物理学中的应用，同时体会到物理学的自洽性之美。刘剑铭浙江省杭州第四中学高二（14）班（学生）二〇一八年二月二十二日