三种不常见的正项级数收敛性判别法

1三类不常见的正项级数收敛性判别法赖宝锋积分判别法，对数判别法，拉贝判别法是三种重要的积分判别法，但不在大纲所规定的考核范围之内。尽管如此，这里仍然要详细地叙述下这三大判别法，以及其中所体现的思想方法，并用一些例子来说明这三种判别法。先介绍积分判别法。先建立如下三个简单的引理。引理1设()fx为[,]a上的一个单调递增函数，则lim()xfx存在当且仅当()fx有界。证明：先证明必要性。假设lim()xfx存在，记lim()xfxA。则存在一个0R，当xR时，有()1fxA，于是()()()1fxfxAAfxAAA。又()fx单调递增，因此，()()fxfa。于是，()fx有界。充分性，若()fx有界，则()fx为单调有界函数，极限lim()xfx必存在。得证！引理2设()fx为[,]a上的一个单调递增函数，则lim()xfx存在当且仅当()fn有界。证明：必要性显然。充分性：[,)xa，1xxx，()(1)fxfx。再由()fn的有界性就知道了。引理3设()fx为[,)a上的非负可积函数。则()afxdx收敛当且仅当()Aafxdx有界，当且仅当()nafxdx有界。证明：()afxdx收敛当且仅当lim()AaAfxdx存在。由于()fx非负，因此，()Aafxdx是单调递增的。由引理1，()Aafxdx收敛当且仅当()Aafxdx有界；由引理2，()Aafxdx收敛当且仅当()nafxdx有界。这样，结论得证！定理1(积分判别法)假设数列nu满足：0nu且nu单调递减。假设存在一个[1,]上的非负的单调递减的可积函数()fx，使得()nfnu。则1nnu的收敛性与广义积分1()fxdx是一致的。2证明：记1nnu部分和为nS，即11112221()(1)()(1)()(1)()(1)()nnnnnkknnkkkkkkknSufkffkffkdxffxdxffxdx另一方面，11111111()()()()nnnnkknnnkkkkkkSufkfkdxfxdxfxdx这样，111()(1)()nnnfxdxSffxdx。这样，若1()fxdx收敛，即1()nfxdx有界，即1()fxdx收敛，则nS收敛，即1nnu收敛。若1nnu收敛，即nS有界，则11()nfxdx有界，即1()fxdx收敛。这个判别法的证明方法的几何意义是很清楚的，就是曲边梯形的内接矩形面积小于曲边梯形面积，曲边梯形面积又小于其外接矩形的面积。见图1：图1注1：积分判别法中，数列nu单调性可以放宽为某一项以后单调。由于级数是否收敛与前几项无关，因此，即使nu某一项以后才保持单调递减性，级数仍然收敛。下面用积分判别法解决两个问题。例1.判别级数11pnn的收敛性。3解答：当0p，1pn，级数自然是不收敛的。当0p，11pn，级数也不收敛。当0p，广义积分11pdxx当1p时收敛，当01p时发散。于是，01p时，级数收敛。当1p时，级数发散。综合起来看，1p，级数发散。1p，级数收敛。例2.判别级数21lnpnnn的收敛性。解答：通过研究函数1lnpxx可知，数列1lnpnn在某一项以后就是单调递减的了。由于广义积分22ln21lnlnlnpppdxdydxxxxy当1p收敛，当1p发散。于是，级数21lnpnnn当1p收敛，当1p发散。定理2.假设数列{}nu满足0nu，且1ln()limlnnnnupu(包括p)。则：(1)若1p，级数收敛。(2)若1p，级数发散。(3)若1p，此法失效。证明：若1p，则对任意1p，存在0N，使得当nN，有1ln()1lnnnuu，于是1ln()lnnnu，即1nnu，于是，10nun。由于1，因此级数nu收敛。若p，与上面方法一样，只需任取一个1，则存在一个0N，当nN，有1ln()1lnnnuu。下同。若01p，则对任意1p，存在0N，使得当nN，有1ln()1lnnnuu，4于是1ln()lnnnu，即1nnu，1nun。由于1，因此级数1n发散，因此级数nu发散。若1p，我们取1nun，则1ln()ln()limlim1lnlnnnnunnn，但1n是发散的。另一方面，我们又取1lnnpunn，其中1p。则1ln()ln(ln)ln()ln(ln)limlimlim1lnlnlnpnnnnunnnpnnnn。由积分判别法，有1lnpnn收敛。因此，当1p，此法失效。下面用对数判别法练习几个例题。例题3.判断212ln(1)nnnn的敛散性。解答：2221ln()2ln2ln2ln(1)ln(1)()limlimlimlnlnlnnnnnnnnnnnnnnnn于是，212ln(1)nnnn收敛。例题4.判断311.3.5....(21)2.4.6....(2)nnn的敛散性。解答：3112.4.6....(2)2ln3ln3ln1.3.5.....(21)211.3.5....(21)2.4.6....(2)nknknknn21lnln(1)2121kkk为单调递减函数，于是11222lnlnln212121kkkkxkxdxdxxkx这样，11112222lnlnln2ln212121nnnkkkkkkkxkxdxdxxkx，即51111222lnlnln2ln212121nnnkxkxdxdxxkxlnlnxdxxxxC，于是2111ln[lnln()]lnln()()2122211111ln[()ln()()]ln()ln()22222xdxxxdxxdxxdxxxxxxxxCxxxxC11112111111lnln()ln()|(1)ln(1)()ln()ln21222222111(1)ln(1)()ln()ln2222nnxdxxxxxnnnnxnnnn12111lnln()ln()ln221222nxdxnnnnx这样，11112111(1)ln(1)()ln()ln2lnln()ln()ln222221222nkknnnnnnnnk这样，12111111ln(1)ln(1)()ln()ln2ln()ln()ln221222222lnlnlnnkknnnnnnnnknnn1111111ln()ln()ln()()ln()ln()2222222xxxxxxxxx1111111ln()ln()ln2ln()ln()ln()ln()2222222limlimlimlnlnln1122ln(1)11111ln[1ln()]lnln()112222limlimlimlimlim11111222nnxxxxxxnnnnnnnnxxxxnnxxxxxxxxxxxxx11111(1)ln(1)()ln()ln2(1)ln(1)()ln()ln(1)122222limlimlnln(1)ln2nnnnnnnnnnnnnn于是，123ln(ln)321lim1ln2nknkkn。因此，级数收敛。6注2：我们在这里还是利用了放缩的方法。我们中间得到了这样一个不等式：11112111(1)ln(1)()ln()ln2lnln()ln()ln222221222nkknnnnnnnnk由于12212111111112ln()ln()ln()ln()ln()lnln(1)12222222211lnln(1)221nnnnnnnnnnnnnnn12122111111(1)ln(1)()ln()ln(1)()ln(1)()ln()22222211112ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)122212nnnnnnnnnnnnnnn于是，21212211112111ln(1)ln(1)ln2lnlnln(1)ln22212212212nnnkknnnkn21212211121(1)2(1)2212121nnnknknnkn212112221121112(1)(1)212211nnnkkknnnn由于21211lim1(1)21nnen，于是121lim02nnkkk注意到220121sin22nnkkxdxk，于是，220limsin0nnxdx。再由0sin1x，(0,)2x，可知2120limsin0nnxdx。于是，20limsin0nnxdx。例题5.判别级数21(ln)pnn的收敛性。7解答：1ln1(ln)ln(ln)limlim0lnlnpnnnpnnn，于是，级数对任意p都不收敛。例题6.判别级数ln21(ln)nnn的收敛性。解答：ln1ln1(ln)lnln(ln)limlimlnlnnnnnnnnn，于是，级数收敛。例题7.判别级数21lnpnnn的收敛性。解答：1ln1lnln(ln)lnlimlimlnlnpnnpnnnnpnn若1p，级数收敛；若1p，级数发散；若1p，此法失效。用积分判别法，容易知道1lnnn发散。例题8.判别级数2lnpnnn的收敛性。解答：1lnlnlnln(ln)limlimlnlnpnnnpnnnpnn若1p，级数收敛；若1p，级数发散；若1p，此法失效。由于ln1nnn，容易知道lnnn发散。下面论述拉贝判别法。定理3.假设0nu，且1lim(1)nnnupnu。若1p(包括p)，级数收敛；若1p，级数发散；若1p，此法失效。8证明：若1p，则1lim(1)1nnnupnu。对任意1p(对于p，取)，存在0N，使得当nN，有1(1)1nnunu，即11nnuun，111nnnnuuunn这样，当nN，有12311121231121231231.........1231nnnnNnnnnnnuuuunnnnnnnnnNunnnN1111111121ln......lnlnlnln()121ln()ln()|ln()ln()(1)ln(1)(1)ln(1)ln()ln()nnknkNkNkNnNn