测度论基础知识总结

测度论基础知识总结1.集合论1.1集合与基本运算·概念：具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义）。中间含有的对象叫元素。全集：要研究的问题涉及到的最大集合。空集：没有任何元素的集合。表达方法：{x（集合元素x）|x应该有的性质}·元素与集合的关系：x∈A，x∉A·集合之间的关系只有包含或者不包含若对于任意元素x∈A，x∈B则A包含于B（证明就用这个方法），A是B的子集（A≠B则为B的真子集）包含的特殊情况相等：A=B就是A包含于B同时B包含于A真子集：A包含于B但A≠B·集合的运算①单个元素的幂集2X对于一个集合X，它的幂集2X表示所有其子集为元素构成的集合。这种以集合为元素的集合，也叫集合族。②两个集合的运算交：A∩B={x|x∈A且x∈B}并：A∪B={x|x∈A或x∈B}差：A\B（或写成A-B）={x|x∈A且x∉B}补：AC=U\A（U是问题要研究的全集）于是有等式A\B=A∩BC积：（直积）A×B={(x,y)|x∈A且y∈B}（把A、B中元素构成有序对）③多个元素的运算多个交⋃Aλλ∈I表示所有以λ为角标的集合的并，要求λ∈I，称为指标集。类似有多个并注：可以是无穷个【例】Anx|x1n，A={x|x0}，则A=⋃An∞n=1·集合的分析相关性质①上限集：一列集合{An}，定义上限集为⋂⋃Ak∞k=n∞n=1。类似于数列的上极限。②下限集：一列集合{An}，定义下限集为⋃⋂Ak∞k=n∞n=1。类似于数列的下极限。③集合列的极限：当上限集等于下限集时极限存在，就是上限集（或下限集）。④单调集合列：若始终有An包含于An+1，也就是集合越来越大，则为递增集合列；反之，若始终有An+1包含于An，则为递减列。若An为递增列，则有极限limn→∞An=⋃An∞n=1；若为递减列，则有limn→∞An=⋂An∞n=1。1.2映射·定义：X、Y是两个集合，对任意x∈X，存在唯一的y=f(x)∈Y与之对应，则对应法则f为X到Y的一个映射，记为f:X→Y。像集：对于X的一个子集A，像集{f(x)|x∈A}记为f(A)，显然包含于Y原像集：对于Y的一个子集B，原像集{x|x∈A且f(x)∈B}记为f−1(B)·满射：f(X)=Y，即Y中所有元素都是像单射：X中不同元素一定对应Y中不同的像双射：既是单射又是满射。双射是一一对应的映射。·逆映射：对于双射，建立一种Y到X的双射，将像映射到原像上。记为f−1:Y→X·复合映射：f:X→Y，g:Y→Z，它们的复合gof:X→Z，写成g(f(X))·函数，一个𝐑n（n维实数向量）到R（实数）上的映射·性质（映射与交并运算顺序可交换性）对于f:X→Y，X若干个子集Aα，Y若干个子集Bαf(UAα)=Uf(Aα)f−1(∪Bα)=∪f−1(Bα)f(∩Aα)包含于（只有这一个不一定等于！！！）∩f(Aα)不等于的例子：A={1}，B={-1}，f(x)=|x|，则f(A∩B)≠f(A)∩f(B)f−1(∩Bα)=∩f−1(Bα)用集合相等定义可证明。1.3集合的势·对等：如果集合A和B之间可以建立双射，则A对等于B。记为A~B性质：①A到B有单射→A与B子集对等A到B有满射→B与A子集对等②A~B，B~C，则A~C（传递性）③A~C，B~D，则A×B~C×D判定：（康托—伯恩斯坦定理）若集合X与Y的一个真子集对等而且Y与X的一个真子集对等，则X~Y·基数：有限个元素的集合为元素个数。·势：若两个集合对等，则定义它们的势相等。在有限个元素的情况下，势就是基数。无限个元素的情况下，定义自然数集的势是ℵ0（阿列夫0）。A的势用|A|表示。·若A与B的一个子集对等，则|A|≤|B|，若与B的真子集对等，则|A||B|1.4可数集·可数集：与自然数集对等的称为可列集，元素有限的集合和可列集统称可数集。·性质：①任何无穷集合都包含可列子集②可数集的子集还是可数集③两个可数集的交、并还是可数集④可数集和可数集的直积还是可数集·定理：有理数集是可列集，实数不是可列集。（有理数可列证明就把每一个有理数p/q映射到(p,q)点，则有理数和Z×N对等。实数不可列证明方法有多种，可用闭区间套定理、有限覆盖定理、十进制小数展开等方法）定义实数的势是c=ℵ1·定理：单调函数的间断点集是可数集。证明思路：不妨设单调递增。间断点x0左右必有界，否则不单调。f(x0-0)和f(x0+0)之间必有有理数rx0，而且x0不同的话每个区间(f(x0-0),f(x0+0))不会相交，否则不单调。所以间断点和有理数子集{rx0}建立双射，是可数的。·不可数集性质：①一个集合子集不可数，则它不可数②A不可数，B可数，则A~AUB2.n维欧式空间极其简单的性质2.1定义·向量与运算：（略）这部分详见线性代数或者解析几何书定义的向量及运算（加、减、模、内积）、距离等。·一些常用的集合：开球：B(x,r)（以x为球心，r为半径的球内部）就是{y∈𝐑n|d(x,y)r}（d(x,y)是x、y的距离）闭球：上面改为d(x,y)≤r有界集：包含于一个开球的集合。2.2分析相关的概念·点列的极限点：{xk}在k趋于∞时与定点x的距离趋向于0，则x为{xk}极限点。·聚点和导集：若对于{xk}，点x0为圆心的任何开球内都有无数个{xk}中的点，则x0为{xk}聚点。一个集合A的所有聚点构成的集合叫A的导集，记为A’。若x0∈A且不是A的聚点则为A的孤立点，孤立点集记为A\A’。注：聚点未必属于集合，比如[0,1]所有有理数构成的集合聚点是[0,1]中所有数，包括无理数。但是定义孤立点属于集合。定理：若x0是点集A的聚点，则A中存在一个点列趋向x0。·内点和边界点内点（记为AO）：存在一个以它为球心有一个开球包含在A中边界点（记为∂A）：以它为圆心有一个所有开球不包含在A中，但都有A中的点（用几何图像很好理解）定理：A’\A=∂A\A（用集合相等的定义证出）A=AO∪(∂A∩A)（用几何图像很好理解）·闭包A的闭包定义为A与A’的并。称A在A的闭包中稠密。（闭包在几何图像上可以理解为一个图形加上它的边界组成的封闭图形）有若干性质，略2.3n维欧式空间中的集合·闭集：闭包等于自己的集合。开集：闭集的补集。·闭集性质：有限个闭集并还是闭集，任意个闭集交还是闭集。无限个闭集并可能是开集，比如⋃[1n,1∞n=1-1n]=(0,1)开集类似：有限个开集交还是开集，任意个开集并还是开集。·Fσ集和Gδ集。Fσ集：可数个闭集的并。Gδ集：可数个开集的交。性质：Fσ集的补集是Gδ集注意：一个集合有可能既是Gδ集又是Fσ集！比如半开半闭区间。·与矩体的关系矩体：若干个R上的区间直积。半开半闭矩体就是若干个前开后闭区间的直积。性质：开集一定是可列个互不相交的半开半闭矩体的并。·康托集C。开始是[0,1]区间，然后挖掉中间的三分之一开区间得到[0,1/3]U[2/3,1]，再把每个区间挖掉中间1/3的开区间，如此往复，无数次的极限就是康托集。康托集对应三进制小数0.XXXXX…中只有0,2数字，没有1数字的小数。（这个结论可以从每次区间的端点都保留在集合里来得到）性质：①康托集是非空有界闭集。②势是ℵ1。③是完全集C=C’。④没有内点。·σ代数和博雷尔集①σ代数：设F是X的一些子集构成的集合，而且①∅∈F；②若A∈F则X\A∈F；③若一列集合An∈F，则⋃An∞n=1∈F。则称F是X的一个σ代数。②博雷尔集：n维欧式空间的一切开集的最小σ代数中的集合。2.4连续函数·定义：设f是集合E上面的实值函数，若对任一点x0∈E，任何ϵ0，均存在δ，使得x∈B(x0δ)时|f-f(x0)|ϵ，则f为E上连续函数。连续函数性质与微积分中一元函数类似，不详述。·特殊判定方法：①对于任何t∈𝐑，{x|ft，x∈E}(记为E(ft))是开集，则f在E上连续。大于号可换为大于等于、小于、小于等于。②若R任意开集在f的原像是开集，则f在E上连续。“开集”可换为“闭集”。2.5n维欧式空间的完备性定理有柯西收敛准则、闭集套定理、有限覆盖定理、聚点原理，类似于R的情况，不详细叙述。3.勒贝格测度3.1勒贝格外侧度勒贝格测度的定义·开矩体的体积n维欧式空间中的开矩体I={(x1,x2…xn)|x1∈(a1,b1),x2∈(a2,b2)…xn∈(an,bn)}=(a1,b1)×(a2,b2)×…×(an,bn)（(an,bn)都是R中的开区间）定义它的体积|I|=|a1−b1|×|a2−b2|×…×|an−bn|·勒贝格外侧度对于任意n维欧式空间的集合E，总有可数个开矩体可以将其覆盖。定义E外侧度为可数个覆盖它的开矩体体积和的下确界，记为m∗(E)。性质：①非负性：m∗(E)≥0②平移不变性：m∗(E)=m∗(E+x)，E+x为把集合E向右平移x。③子集的外侧度：若E1包含于E2，则m∗(E1)≤m∗(E2)④集合的并的外侧度：n维欧式空间中，m∗(⋃Ek∞k=1)≤∑m∞k=1∗(Ek)一些集合外侧度的例子：①m∗(∅)=0②单个点构成的集合外侧度为0。③可数集的外侧度是0定义：外侧度为0的集合称为零测集。④平面（2为欧式空间）上的任意直线外侧度为0（即直线面积是0）⑤开矩体与它的闭包外侧度相等，都等于它的体积。（而且还等于有一部分边界的矩体的外侧度）·可测集勒贝格测度①可测集：如果对于一个n维欧式空间中的集合E，任意n维欧式空间中的集合T，都有m∗(T)=m∗(E∩T)+m∗(EC∩T)，则称E为可测集。n维欧式空间中的所有可测集的全体记为M(𝐑n)。理解：就是用任意一个集合T去“检验”这个E，与E相交的部分外侧度和E以外部分的外侧度加起来还等于原来T的外测度，那么E就是一个“可以用常理理解”的集合，不至于太“奇怪”，这样的集合E叫做可测集。这个概念不要记错……注1：不可测集一定是存在的，但是要举出不可测集的例子非常麻烦，要有很多铺垫，所以略去。注2：条件可以减弱，只要把任意集合T换成任意开矩体I成立即可。证明略。·可测集例子：①零测集可测，显然测度为0②开矩体可测·勒贝格测度：当一个集合E是可测集的时候，它的外侧度定义为它的勒贝格测度，简称测度，记为m(E)。·可测集族M(𝐑n)是n维欧式空间上的σ代数①空集可测②若E可测，则EC可测③若一列集合An可测，则⋃An∞n=1可测·勒贝格测度的性质①可列可加性：若一列可测集合An两两不交，则m(⋃An∞n=1)=∑m(An)∞n=1②上连续：若递增集合列An都可测则m(limAnn→∞)=limn→∞m(An)③下连续：若递减集合列An都可测，而且𝐀𝟏测度有限，则m(limAnn→∞)=limn→∞m(An)注：A1无测度无限时候不一定成立，比如An=(n,+∞)，limAnn→∞=∅但是对任意n，m(An)=+∞注：康托集可测，测度为0。（证明很容易，因为康托集是一些区间的极限）故测度为0的集合不一定可数，康托集不可数却测度为0。·可测集的性质①若E是可测集，则任给ϵ0存在一个开集G包含E，且m(E/F)ϵ②若E是可测集，则任给ϵ0存在一个闭子集F且m(E/F)ϵ证明思路：分情况讨论（有界与无界）证明①，有界时用定义的开矩体证明，无界时En=E∩B(0,n)，开集Gn包含En且差集测度任意小，G=⋃Gn∞n=1。对于②取补集再用①证。③若E是可测集，则存在Gδ包含E且与E差集测度为0。这个Gδ集称为E的Gδ包。④若E是可测集，则存在Fσ包含于E且与E差集测度为0。这个Fσ集称为E的Fσ核。证明较简单，用①②直接证。取ϵ=1/n构造集合列。3.2测度的公理化定义概率·测度空间设X是非空集，F是X上的σ代数，若存在把F子集映射为非负实数的函数μ，满足：①μ(∅)=0；②若F中集合列{An}两两不交，就有μ(⋃An∞n=1)=∑μ(An)∞n=1则称μ为(X,F)上的一个测度，称(X,F,μ)为一个测度空间。很容易验证勒贝格测度满足上述性质