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第1页共7页2018年全国高中数学联赛河北省预赛高二数学试题一、填空题1．已知集合，且A=B，那么_______.【答案】2【解析】【详解】由B中有三个元素知，且，故A中，即有，又若，则.此时.若，则，或，或，不满足互异性，舍去.故，，所以.2．规定：对任意，当且仅当时，，则的解集为__________.【答案】【解析】【详解】由已知得，那么，所以，故所求解集为.3．在平面直角坐标系中，若与点A（2，2）的距离为1，且与点B（m，0）的距离为3的直线恰有三条，则实数m的取值集合是________.【答案】【解析】【详解】以A为圆心，1为半径的圆，和以B为圆心，3为半径的圆相外切时，恰有三条公切线.利用AB=1+3，可得，即实数m的取值集合是.4．在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=1，动点P在边CD上.设，，则的最大值为________.【答案】-3【解析】【详解】因为，所以问题转化为求的最小值.第2页共7页由等面积法可得.所以.当，即时，所求最大值为-3.5．已知且，则的最大值为________.【答案】【解析】【详解】由已知得.所以.因为，所以，设，则有点（s，t）在以（1，1）为圆心，2为半径的圆弧（第一象限及坐标轴）上.由线性规划知识直线与圆弧相切于点时，.6．若的三边长分别为8、10、12，三条边的中点分别是B、C、D，将三个中点两两连结得到三条中位线，此时所得图形是三棱锥A-BCD的平面展开图，则此三棱锥的外接球的表面积是________.【答案】【解析】【详解】由已知，四面体A-BCD的三组对棱的长分别是4、5、6.构造长方体使其面对角线长分别为4、5、6，设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，外接球半径为R，则，得,故，所以.7．已知．则的取值范围是________．【答案】【解析】【详解】由条件知点表示单位圆上的动点与点第3页共7页连线的斜率大于．作图可得点P在圆弧与上运动，含点和点，不含点和点．如图：而表示原点与点P连线的斜率，由图计算得．故答案为：8．在△ABC中，，，则△ABC的面积最大值为_____.【答案】3【解析】【详解】由正弦定理将变形为，其中.以线段AC所在直线为x轴，以AC的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，则，，由得两边平方整理得因为，所以上述方程可化为为由此可知点B的轨迹是以为圆心，以为半径的圆.所以当点B在圆上运动时，点B到x轴的最大距离为半径，所以的面积第4页共7页在上单调递减，所以.二、解答题9．已知O是的外心，且，求的值.【答案】【解析】【详解】设的外接圆半径r=1，由已知得，两边平方得同理可得，所以故有所以10．设，证明：【答案】见解析【解析】【详解】因为当且仅当，即时等号成立，故原不等式得证.11．若a、b、c为正数且a+6+c=3，证明：【答案】见解析【解析】【详解】因为，同理第5页共7页三式相加得所以故又，所以综上可得.12．若函数的定义域为且满足条件：①存在实数，使得；②当且时，有恒成立.（1）证明：（其中）；（2）判断在上的单调性，并证明你的结论；（3）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【详解】因均为正数，故总存在实数使得，，所以又，所以(2)设，且，则，故可令则由(1)知即，所以在上单调递增.因为，故原不等式可化为，又在上单调递增，所以对于恒成立.因为（当且仅当时等号成立），第6页共7页所以，又，故.13．已知数列中，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】【详解】(1)由知令，则且由得.(2)由题意知所以两式相减得设，再利用错位相减法求得所以.14．如图，设的外接圆为，的角平分线与BC交于点D，M为BC的中点.若的外接圆分别与AB、AC交于P、Q、N为PQ的中点.证明：（1）BP=CQ；（2）.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【详解】(1)设第7页共7页在中，为的平分线，所以，故有，因此有，所以，又，由得由，得因此.(2)连结BQ、PC，并设X、Y分别为BQ、PC的中点，易证XN平行且等于MY，所以四边形为NXMY平行四边形，由CQ=BP知NX=NY，所以四边形为NXMY菱形，从而MN平分，又AD平分，，，所以.