2.2.1综合法和分析法(一)

2.2.1综合法和分析法（一）——综合法合情推理与演绎推理的区别区别推理形式推理结论联系合情推理归纳推理类比推理由部分到整体,个别到一般的推理由特殊到特殊的推理结论不一定正确，有待进一步证明演绎推理由一般到特殊的推理在前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的引例：四边形ABCD是平行四边形，求证：AB=CD，BC=DAABCD1342证明连结AC，因为四边形ABCD是平行四边形所以AB//CD，BC//DA4321，故又AC=CACDAABC所以故AB=CD，BC=DA本题条件已知定义已知定理已知公理本题结论…从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法)从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法)用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:1PQ12QQ23QQnQQ…特点:“由因导果”练习.已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc分析：首先，分析待证不等式的特点：不等式的右端是3个数a,b,c乘积的4倍，左端为两项之和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积.据此，只要把两个数的平方和转化为这两个数的积的形式，就能使不等式左、右两端具有相同的形式.其次，寻找转化的依据及证明中要用的其他知识：应用不等式x2+y2≥2xy就能实现转化，不等式的基本性质是证明的依据.证明:∵b2+c2≥2bc,a0∴a(b2+c2)≥2abc.又∵c2+a2≥2ac,b0∴b(c2+a2)≥2abc.∴a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法)例1.如图所示,△ABC在平面外,AB∩＝P,BC∩＝Q,AC∩=R,求证：P、Q、R三点共线分析：P、Q、R∈，P、Q、R∈平面ABC则P、Q、R是两平面的交线ABRPCQα三、例题讲解又因为P∈AB,P∈平面ABC因为AB∩＝P,所以P∈,P∈AB例3.在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ABC为等边三角形．分析•将A，B，C成等差数列，转化为符号语言就是2B=A+C；•A，B，C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，即A+B+C=180°；•a，b，c成等比数列转化为符号语言就是2b=ac.三、例题讲解πB=.3?怎样把边,角联系起来222:2cosbacacB余弦定理证明：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C.①因为A，B，C为△ＡＢC的内角,所以Ａ+Ｂ+Ｃ=180°.②πB=.3③由a，b，c成等比数列，有2b=ac.④由①②，得①②，得由①②，得注：解决数学问题时，学会语言转换；还要细致，找出隐含条件。符号语言图形语言文字语言学会语言转换找出隐含条件由余弦定理及③，可得22222b=a+c-2accosB=a+c-ac.再由④，得22a+c-ac=ac,即2a-c=0.（）因此a=c.从而A=C.⑤πA=B=C=.3所以△ＡＢC为等边三角形.由②③⑤,得222)(||||21:,,,.2babaSbCAaCBABCABC求证设中在例三、例题讲解四、课堂小结1.在数学证明中，综合法最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法.2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性.3.综合法是万事开头难，虽然万事开头难，但有时候进展更难。会需要高超的技巧，深刻的解题指导思想。万事开头难怎办？请听下节课分解2.2.1综合法和分析法（二）——分析法用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:1PQ12QQ23QQnQQ…一、回顾复习——综合法(顺推证法或由因导果法)利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。其特点是:“由因导果”综合法是由一个个推理组成的2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性.3.综合法是万事开头难，虽然万事开头难，但有时候进展更难.但开头难怎办？如何找到开头？分析基本不等式：a+bab2证明:要证a+bab2只需证2a+bab只需证20a+bab只需证()b20a因为成立()b20a所以成立a+bab2(a0,b0)的证明.判定一个明显成立的条件一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法。其特点是：执果索因.即要证结果Q，只需证条件P.1QP23PP12PP得到一个明显成立的结论…二、讲授新课——分析法（逆推证法或执果索法）类似于综合法，我们也可以用框图来表示分析法。用Pi表示使所要证明结论成立的充分条件，Q表示所要证明的结论.则分析法的思路过程，特点用框图表示为:注意：证明最后面的明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等分析基本不等式：(a0,b0)的证明.a+bab2证明:因为;所以所以所以成立()b20a20a+bab2a+baba+bab2证明:要证;只需证;只需证;只需证;因为;成立所以成立a+bab22a+bab20a+bab()b20a()b20aa+bab2还原成综合法：分析法综合法思考：上述两种证法有什么异同？都是直接证明证法1从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止综合法相同不同证法2从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止分析法分析法结论已知条件综合法已知条件结论综合法和分析法的推证过程如下：5273.4求证：例都是正数，所以要证和证明：因为52735273只需证，225273）（）（521只需证：2521只需证：显然成立，所以因为2521成立52732021210只需证：判定一个明显成立的结论在本例中，如果我们从“2125”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但由于我们很难想到从“2125”入手，所以用综合法比较困难.反思5273.4求证：例练习.求证：6372证法一：为了证明6372成立因为,6372都是正数和所以只需证明22)63()72(成立展开得18291429即18214218141814因为1814成立，所以6372成立证法二：1814181418214222)63()72(637218291429第一高考不会估算也不用计算器。同学们你觉得可以是依葫芦画瓢，但我希望同学们你对自己提高要求那就是心算出开头。综合法和分析法的各自优劣综合法是万事开头难，我们很难找到那个证明的起点即开头。我们一般用分析法找到证明的起点即开头然后用综合法书写。分析法像警察破案，一步步推理，最终找到犯罪的证据。整个案件清晰明朗。综合法让我们隐藏了我们的解题思路是怎来的，就像一只狡猾的狐狸，一边前进，一边抹去自己前进的足迹。这就是历史上后人评价高斯的数学文章，说高斯像只狡猾的狐狸，让后人不知道他的思路是怎来的，后人评价高斯说高斯只所以这样是为了显示自己的高明。人家会问你是怎么想到的。但综合法没给出我是怎么想到的。研究的学者指出，如果高斯能公布自己是如何想到的，那会极大推动世界数学的发展。。用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:1PQ12QQ23QQnQQ…回顾复习——综合法(顺推证法或由因导果法)其特点是:“由因导果”其特点是：执果索因.即要证结果Q，只需证条件P.——分析法（逆推证法或执果索法）1QP23PP12PP得到一个明显成立的结论…用Pi表示使所要证明结论成立的充分条件，Q表示所要证明的结论.则分析法的思路过程，特点用框图表示为:分析法转化结论综合法拓展条件推证过程不同例5.如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证AF⊥SCFESCBA证法一:要证AF⊥SC只需证:SC⊥平面AEF只需证:AE⊥SC只需证:AE⊥平面SBC只需证:AE⊥BC只需证:BC⊥平面SAB只需证:BC⊥SA只需证:SA⊥平面ABC因为:SA⊥平面ABC成立所以.AF⊥SC成立分析：本题条件较多，而且垂直关系较多，我们不容易发现如何使用这些垂直条件，因此利用综合法比较困难，我们采用分析法，因为AE⊥SB因为EF⊥SC因为AB⊥BC证法二:∵SA⊥平面ABC，且BC在平面ABC内∴AE⊥BC又∵AE⊥SB,且BC∩SB=B∴AE⊥平面SBC∴AE⊥SC又∵EF⊥SC,且AE∩EF=E∴SC⊥平面AEF∴AF⊥SC∴BC⊥SA∴BC⊥平面SAB又∵AB⊥BC,且AB∩SA=A这是道经典题，年年有，高考只会换个角度考。同学们你会遇到云里雾里剪不断理还乱的解题现象。这里线面垂直转化为线线垂直，线线垂直转化为线面垂直，把你头脑转晕掉。又∵AE在平面SAB内又∵SC在平面SBC内又∵AE在平面SAB内)tan1(2tan1tan1tan1sincossin,sin2cossin),(2,6.22222＝求证：且已知例zkk分析：证明式中没有,因此我们要将消掉,如何消掉？而且在条件中只有弦,而在证明结果里面只有切,因此我们要弦化切。证明：,22222222222222222sinθ+cosθ-2sinθcosθ=14sinα-2sinβ=1.1-tanα1-tanβ=1+tanα2(1+tanβ)sinβsinα1-1-cosβcosα=sinαsinβ1+2(1+)cosαcosβ（），，因为所以将(1)(2)代入，可得另一方面要证即证（3）222222221cosα-sinα=(cosβ-sinβ)211-2sinα=(1-2sinβ)24sinα-2sinβ=1.，，即证即证即证由于上式与③相同，于是问题得证.解题就是思维的发生发展且为什么这样发生发展。世界上没有无缘无故的恨也没有无缘无故的爱，思维的发生几乎没有莫名其妙。已知条件三个角，要证结论两个角，所以消失一个，消失后发现得到的是正弦式子，但要证的结论正切，所以又要化正切为正弦。1.综合法：∵(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ＝1∴(2sinα)2-2sin2β＝1∴4sin2α-2sin2β＝1∴2(cos2α－sin2α)＝cos2β-sin2β即：2(cos2α－sin2α)cos2α+sin2αcos2β-sin2βcos2β+sin2β＝)tan1(2tan1tan1tan12222＝∴2cos2α=cos2β小结1.在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法，否则用分析法.2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性.3.综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在证明某些较复杂的问题时，常采用分析综合法，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点.例3:设a,b,c为一个三角形的三边,且s2=2ab,试证：s2a1s=(a+b+c),2解:欲证s2a,只需证2ssb即证bs,也即证1()2b