北京理工大学数字信号处理1-DFT

数字信号处理第三章离散傅里叶变换DFT班级：05941401姓名：张xx学号：112014xxxx一、实验要求利用DFT对信号（如由多个正弦信号组成的信号）进行频谱分析，并研究不同数据长度，补零，加窗等对频率分辨率的影响。二、名词解释1.补零：在时域信号末端加一些零值点，以增加频域采样点数。2.加窗：计算机不能对无限长的信号进行测量和运算，需要从信号中截取一个时间片段，然后用截取的信号时间片段进行周期延拓处理，得到虚拟的无限长的信号，然后就可以对信号进行傅里叶变换、相关分析等数学处理。3.频率分辨率：指将两个相邻谱峰分开的能力。三、实验内容及步骤1.不同数据长度对频率分辨率的影响（1）实验方法：由于Matlab中没有dtf函数，所以新建一个m文件，根据已知DFT公式，定义一个dft函数。然后设定采样长度分别为N=10和N=50，对同一个信号进行采样，并用matlab绘制其时域序列图、幅频特性曲线、频域序列图。比较两者的最小频率间隔，从而比较频率分辨率。（2）Matlab代码①N=10;n=0:1:N-1;xn=sin(5*2*pi*n/30)+cos(3*2*pi*n/30);Xk=dft(xn,N);subplot(3,1,1)stem(n,xn,'filled');title('xn');xlabel('n');axis([0,10,-2.5,2.5]);w=2*pi*(0:1:2047)/2048;Xw=xn*exp(-j*n'*w);subplot(3,1,2);plot(w/pi,abs(Xw));title('X(ejw)');xlabel('w');axis([0,1,0,10]);subplot(3,1,3)k1=0:1:9;w1=2*pi/10*k1;stem(w1/pi,abs(Xk),'filled');title('Xk');xlabel('pi');axis([0,1,0,10]);②N=50;n=0:1:N-1;xn=sin(5*2*pi*n/30)+cos(3*2*pi*n/30);Xk=dft(xn,N);subplot(3,1,1)stem(n,xn,'filled');title('xn');xlabel('n');axis([0,10,-2.5,2.5]);w=2*pi*(0:1:2047)/2048;Xw=xn*exp(-j*n'*w);subplot(3,1,2);plot(w/pi,abs(Xw));title('X(ejw)');xlabel('w');axis([0,1,0,30]);subplot(3,1,3)k1=0:1:49;w1=2*pi/50*k1;stem(w1/pi,abs(Xk),'filled');title('Xk');xlabel('pi');axis([0,1,0,30]);（3）实验结果N=10N=50（4）结论与分析结论：数据长度越长，频率分辨率越高。分析：根据公式，其中N为采样点数，为采样频率，为采样间隔。因此，T为数据长度，最小频率间隔与数据长度成反比；最小频率间隔越小，频率分辨率越高。2.补零对频率分辨率的影响（1）实验方法：对上一实验中的相同信号进行补零至100位，仍然取N=10，模拟出其时域序列图、幅频特性曲线、频域序列图。（2）Matlab程序：N=10;n=0:N-1;xn=sin(5*2*pi*n/30)+cos(3*2*pi*n/30);N1=100;n1=0:N1-1;x1=[xn(1:10)zeros(1,90)];subplot(3,1,1)stem(n1,x1,'filled');title('x1');xlabel('n');axis([0,20,-2.5,2.5]);w=2*pi*(0:2047)/2048;X1=x1*exp(-j*n1'*w);subplot(3,1,2);plot(w/pi,abs(X1));title('X(ejw)');xlabel('w');axis([0,1,0,10]);subplot(3,1,3)Xk=dft(x1,N1);k1=0:1:49;w1=2*pi/100*k1;stem(w1/pi,abs(Xk(1:1:50)),'filled');title('Xk');xlabel('pi');axis([0,1,0,10]);（3）实验结果：（4）结论与分析补零对频率分辨率没有影响。因为补零是在信号时域上进行的活动，信号的有效长度没有改变，所以频谱也没有变化，因而不能提高频率分辨率。3.加窗对频率分辨率的影响（1）实验方法：设定采样长度N=50，对同一信号进行采样，采用加窗的方法对时域图像进行采样，模拟出时域序列图、幅频特性曲线和频域序列图。这里要注意的是我们采用加窗的方法时，设定信号的长度为400，然后对长度为400的信号进行截短加窗，这时只有加窗处我们是对信号采样的，即得到的信号是有效的，其余位置信号都为0。（2）Matlab代码：N=50;n=0:N-1;xn=sin(5*2*pi*n/30)+cos(3*2*pi*n/30);N2=400;n2=1:400;x1=(sin(n2*5*2*pi/30)+cos(n2*3*2*pi/30)).*(heaviside(n2)-heaviside(n2-N+1));subplot(3,1,1)stem(n2,x1,'filled');title('x1');xlabel('n');axis([0,10,-2.5,2.5]);w=2*pi*(0:2047)/2048;X1=x1*exp(-j*n2'*w);subplot(3,1,2);plot(w/pi,abs(X1));title('X(ejw)');xlabel('w');axis([0,1,0,30]);subplot(3,1,3)Xk=dft(x1,N2);k1=0:1:399;w1=2*pi/400*k1;stem(w1/pi,abs(Xk),'filled');title('Xk');xlabel('pi');axis([0,1,0,30]);（3）实验结果：（4）结论与分析：通过比较上面的图形和实验1中的N=50的频域图像，可以看出频谱有轻微的失真。这是因为加窗是在时域上对原信号乘一个窗函数，相当于频域上两者卷积。导致了一定程度的谱线展宽，因而发生了频谱泄露，同时降低了频率分辨率。