向量及向量的基本运算

向量及向量的基本运算1）向量的有关概念①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：。向量的大小即向量的模（长度），记作||。②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行。注意与0的区别③单位向量：模为1个单位长度的向量。④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为。cba,,ABAB00ba2）向量加法①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设，则+==。向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。说明：（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；bBCaAB,abBCABACaaa003)向量的减法①相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。记作,零向量的相反向量仍是零向量。②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。的作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）。abaabab)(babababaabaa4)实数与向量的积①实数λ与向量的积是一个向量,记作λ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）；（Ⅱ）当时,λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的。②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。aaaa0a0aa00aa5)两个向量共线定理向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。baba例1、判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向(2)若则(3)单位向量都相等(4)向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同(6)若，，则；(7)若，，则(8)四边形ABCD是平行四边形,则(9)已知A（3，7），B（5，2），将按向量=（1，2）平移后得到的向量的坐标为（3，－3）(10）的充要条件是且；baba则,bacbcaba//cb//ca//DABCCDB,AABBAba||||baba//a1BC1.已知a,b方向相同，且|a|=3，|b|=7，则|2a-b|=_____.2.如果AB=a,CD=b，则a=b是四点A、B、D、C构成平行四边形的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件3.a与b为非零向量，|a+b|=|a-b|成立的充要条件是()(A)a=b(B)a∥b(C)a⊥b(D)|a|=|b|CB返回4.下列算式中不正确的是()(A)AB+BC+CA=0(B)AB-AC=BC(C)0·AB=0(D)λ(μa)=(λμ)a5.已知正方形ABCD边长为1，AB=a,BC=b,AC=c,则a+b+c的模等于()(A)0(B)3(C)22(D)2例2:已知G是△ABC的重心，求证：0GCGBGA练习、如图平行四边形ABCD的对角线OD,AB相交于点C，线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD＝3CN,设MNONOMbabOBaOA,,,,,表示试用例3（同课本）：设不共线，点P在AB上，求证：。OB、OAR,1OBOAOP、且＋＝说明：当时，，此时P为AB的中点，这是向量的中点公式。变一：设不共线，求证：A、B、P三点共线。OB、OAR,1OBOAOP、且＋＝21OB)OA(21OP＋＝练习、设是不共线的向量,已知向量,若A,B,D三点共线,求k的值21,ee2121212,3,2eeCDeeCBekeAB例4（同课本）：若是两个不共线的非零向量（。（1）若起点相同，为何值时，三向量的终点在一直线上？（2）若且夹角为，那么为何值时，的值最小？ba,)Rtba,t)(31,,babtababa与060tbta【课堂小结】1）向量的有关概念:①向量②零向量③单位向量④平行向量（共线向量）⑤相等向量2）向量加法减法:3)实数与向量的积4)两个向量共线定理