第七章-参数估计

第七章参数估计第一节点估计第二节估计量的评价标准第三节区间估计上一页下一页返回第一节点估计点估计是指把总体的未知参数估计为某个确定的值或在某个确定的点上.上一页下一页返回上一页下一页返回一、矩估计法矩估计法的思想:用样本矩作为总体矩的估计。当总体X的分布类型已知，但含有未知参数，可以用矩估计法获得未知参数的估计。上一页下一页返回设总体X~F（x；θ1,θ2，…，θl）其中θ1,θ2,…,θl均未知。（1）如果总体X的k阶矩μk=E(Xk)(1≤k≤l)均存在，则μk=E(Xk)=μk(θ1,θ2,…,θl)，（1≤k≤l）上一页下一页返回上一页下一页返回(2)令.),,,(,),,,(,),,,()2(2122121211lllllAAA令其中Ak（1≤k≤l）为样本k阶矩。上一页下一页返回例7.1求事件发生概率P的矩估计。解记事件A发生的概率为P(A)=P,定义随机变量不发生如果在一次试验中事件发生如果在一次试验中事件AAX101)(AXE令则E(X)=P,对X做n次试验，观测到niAiAiXi,,2,110不发生次试验中事件如果在第发生次试验中事件如果在第则E(X)=P,对X做n次试验，观测到niiXP1n1即上一页下一页返回nnXnXPAnii11ˆ则P的矩估计为niiX1X为n次试验中事件A发生的次数nA，因而是n次试验中事件A发生的频率，由此可见频率是概率的矩估计。上一页下一页返回例7.2设总体X的密度函数为：.0),1(,10)1()(其他xxxf其中α未知，样本为（X1，X2，…，Xn），求参数α的矩法估计。(X)1E由解，有xxxfd)(10d)1(xxx21上一页下一页返回XA1X，A2111有令121ˆXX得上一页下一页返回例7.3设X~N（μ，σ2），μ，σ2未知，试用矩法对μ，σ2进行估计。解.1)(,1)(12222111niiniiXnAXEXnAXE令又E(X)=μ,E(X2)=D(X)+(EX)2=σ2+μ2,那么.)(11ˆˆ,ˆ122222niiXXnSnnAX上一页下一页返回niiXnX11的矩估计量为样本均值即221221)(1Snn-XXnBnii的矩估计量为例7.4在某班期末数学考试成绩中随机抽取9人的成绩，结果如下：序号123456789分数948985787571656355试求该班数学成绩的平均分数、标准差的矩估计值。上一页下一页返回解设X为该班数学成绩，μ=E（X）,σ2=D（X）75)558994(919191iixx.1412)(8198982/19122iixxs.91)(,91)(9122229111iiiiXAXEXAXE令上一页下一页返回由于E（X2）=D（X）+（EX）2=σ2+μ2，那么2222228ˆˆˆ,().9XAAxS75ˆx.141298ˆ2s所以，该班数学成绩的平均分数的矩估计值，标准差的矩估计值=12.14.作矩法估计时无需知道总体的概率分布，只要知道总体矩即可。上一页下一页返回二、极(最)大似然估计(1)似然函数(a)离散型总体上一页下一页返回niinnnnnxpxpxpxpxXPxXPxXPxXxXxXP12122112211),(),(),(),()()()(,,，上一页下一页返回(b)连续型总体上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回(2)极大似然估计上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回由于lnL（θ）是L（θ）的单调增函数，所以L（θ）与lnL（θ）在θ的同一点处取得极大值，因此：上一页下一页返回。，k，kk极大似然估计，，，到参数解下列方程组就可以得时，，，个未知参数当总体分布中含有相似地2121.0),,,(ln,0),,,(ln,0),,,(ln21221121kkkkLLL上一页下一页返回极大似然估计法(Maximumlikelihoodestimation)只能在已知总体分布的前提下进行。上一页下一页返回例7.6在泊松总体中抽取样本，其样本值为：x1，x2，…，xn，试对泊松分布的未知参数λ作极大似然估计。解因泊松总体是离散型的，其概率分布为：e!xxXPx,故似然函数为：niniixnixxxLniii11!1ee!)(1上一页下一页返回lnL(λ)=11lnln(!)nniiiinxxniixn11)ln(dd得令0dlnd011niixnxxnniiL11ˆ所以XLˆ的极大似然估计量为上一页下一页返回例7.7设一批产品含有次品，今从中随机抽出100件，发现其中有8件次品，试求次品率θ的极大似然估计值。解用极大似然法时必须明确总体的分布，故应先来确定总体的分布。设Xi=,100,,2,1,0,1i，i，iXi次取正品第次取次品第设则Xi服从两点分布：上一页下一页返回Xi10Pθ1-θ设x1，x2，…，x100为样本观测值，则：1,0)1(}{),(1ixxiiixxXPxPii故似然函数为：1001100110010011)1()1()(iiiiiixxixxL上一页下一页返回由题知：81001iix928)1()(L两边取对数得：lnL（θ）=8lnθ+92ln（1－θ）.01928d)(lndL解之得θ=8/100=0.08，所以08.0ˆL上一页下一页返回例7.8设x1，x2，…，xn为来自正态总体N（μ，σ2）的观测值，试求总体未知参数μ，σ2的极大似然估计。解因正态总体为连续型，其密度函数为222)(eπ21)(xxf，所以似然函数为：niinniixxL1221222)(21expπ212)(expπ21),(上一页下一页返回niixnnL12222)(21ln2π2ln2),(ln故似然方程组为：.0)(212),(ln,0)(1),(ln124222122niiniixnLxL解以上方程组得:上一页下一页返回.ˆ)(1)(1,12121221Bxxnxnxxnniiniinii所以.ˆ,ˆ22BXLniiXnX11niiXnB122)(1即正态总体平均数μ的最大似然估计为样本平均数，总体方差的最大似然估计为样本二阶中心矩上一页下一页返回例7.9设总体X服从［0,θ］上的均匀分布,X1,X2,…,Xn是来自X的样本，求θ的矩法估计和极大似然估计。解因为E（X）=θ/2，得令(X)EX.2ˆX矩.,0,0,1)(其他又xxfinx01)L(所以上一页下一页返回要L（θ）最大，θ必须尽可能小，又θ≥xi，i=1，2，…,n，所以iniLX1maxˆ.上一页下一页返回第二节估计量的评价标准一、无偏性本节讨论衡量估计量好坏的标准问题。上一页下一页返回上一页下一页返回ˆˆˆ无偏估计的意义：估计量的值不一定就是的真值，因为它是一个随机变量，若是的无偏估计，则尽管的值随样本值的不同而变化，但平均来说它会等于θ的真值。例7.10设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，E（X）=μ，则样本平均数，是μ的无偏估计量。11niiXXn上一页下一页返回证因为E（X）=μ，所以E（Xi）=μ，i=1，2，…，n，于是1111()()nniiiiEXEXEXnn=μX所以是μ的无偏估计量。例7.11设有总体X，E（X）=μ，D（X）=σ2，（X1，X2，…，Xn）为从该总体中抽得的一个样本，样本方差S2及二阶样本中心矩B2=是否为总体方差σ2的无偏估计？11()niiXXn上一页下一页返回解因为E（S2）=σ2，所以S2是σ2的一个无偏估计，这也是我们称S2为样本方差的理由。由于B2=21nSn那么E（B2）=2211()nnESnn,所以B2不是σ2的一个无偏估计。上一页下一页返回二、有效性上一页下一页返回1ˆ2ˆ1ˆ1ˆ2ˆ1ˆ如果比有效，则虽然还不是θ的真值，但在附近取值的密集程度较高，即用估计θ精度要高些。上一页下一页返回三、一致性定义4上一页下一页返回X2S由辛钦大数定律可以证明：样本平均数是总体均值μ的一致估计量，样本的方差及二阶样本中心矩B2都是总体方差σ2的一致估计量。上一页下一页返回第三节区间估计一、区间估计的概念上一页下一页返回上一页下一页返回1ˆ2ˆ的意义是指（，）以1－α的概率包含θ。例如，若取α=0.05，那么置信概率为1－α=0.95，这时，置信区间（，）的意义是指：在100次重复抽样中所得到的100个置信区间中，大约有95个区间包含参数真值θ，有5个区间不包含真值θ，亦即随机区间（，）包含参数θ真值的频率近似为0.95。121P1ˆ2ˆ1ˆ2ˆ上一页下一页返回例7.12设X~N（μ，σ2），μ未知，σ2已知，样本X1，X2，…，Xn来自总体X，求μ的置信区间，置信概率为1－α。解因为X1，X2，…,Xn为来自X的样本，而X~N(μ,σ2)，所以/Xnu=~N（0，1）对于给定的α，查附录中表2可得上分位点，使得2z上一页下一页返回2/XPzn=1－α=1－α.即22PXzXznn=1－α所以μ的置信概率为1－α的置信区间为22,XzXznn上一页下一页返回22zn2z由上式可知置信区间的长度为，若n越大，置信区间就越短；若置信概率1-α越大，α就越小，就越大，从而置信区间就越长。上一页下一页返回二、正态总体参数的区间估计上一页下一页返回);z(22znX，nX上一页下一页返回1)}1()1({22ntnSXntnSXP即上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回例7.13某车间生产滚珠,已知其直径X~N(μ,σ2)，现从某一天生产的产品中随机地抽出6个，测得直径如下（单位：毫米）14.615.114.914.815.215.1试求滚珠直径X的均值μ的置信概率为95%的置信区间。解111(14.615.114.914.815.215.1)6niixxn=14.95，s0=上一页下一页返回211()niixxnS0==0.2062tα/2(n－1)=t0.025(5)=2.571所以20(1)1stnn0.206261=2.571×=0.24置信区间为（14.95－0.24,14.95+0.24)，即（14.71,15.19)，置信概率为95%。上一页下一页返回上一页下一页返回)1(212n)1(22n12/2/上一页下一页返回,1)}1()1()1({2222122nSnnP有.1})1()1()1()1({21222222nSnnSnP即)1(212n)1(22n12/2/上一