利用锐角三角函数解决航海问题

利用锐角三角函数解决航海问题航海问题主要包括求航行的时间、求航行速度、判断是否有触礁危险等，都是考试中的热点问题.解决航行问题的关键是从实际问题中构造一个或两个直角三角形，通过三角函数直接解决或根据图形中的数量关系建立方程解决.例1（2007?山东青岛）如图1，一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上.之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？（参考数据：sin21.3°≈，tan21.3°≈，sin63.5°≈，tan63.5°≈2）【分析】根据点到直线的距离中垂线段最短可知，距离小岛最近的位置即为过C点作AB的垂线垂足的位置.故需过点C作CD⊥AB于点D，继续向东航行的距离即为BD的长.解：过点C作AB的垂线，交直线AB于点D，得到Rt△ACD与Rt△BCD.设BD=x海里，在Rt△BCD中，tan∠CBD=，∴CD=x?tan63.5°.在Rt△ACD中，AD=AB+BD=（60+x）海里，tanA=，∴CD=（60+x）?tan21.3°.∴x?tan63.5°=（60+x）?tan21.3°，即2x=（60+x）.解得，x=15.答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛C最近.【点评】解决本题的关键是理解题中所提问题，将之转化为数学问题解决.例2（2007?广东深圳）如图2，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上.该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁.若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由.【分析】要判断货船是否有触礁的危险，关键是比较点C到正东方向的距离与半径9海里的大小，若小于9海里，则有触礁的危险.因此，需过点C向正东方向作垂线，转化为解直角三角形的问题.解：过点C作CD与正东方向线垂直，垂足为D.设CD长为x海里，在Rt△CBD中，BD=tan30°×CD=x海里，在Rt△CAD中，AD=tan60°×CD=x海里，则x-x=24×，解得：x=6.而69，所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险.【点评】有无触礁问题是航海中的热点，也是中考试题中经常出现的试题.解决此类问题需要正确理解题意，从实际问题构建直角三角形模型，而且还要注意一些解题技巧，如能用乘法运算的，不用除法，能用正弦计算的，不用余弦.（作者单位：江苏省泗洪县第一实验学校）