三角函数知识归纳与典型例题

1三角函数知识归纳与典型例题1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。3.终边相同的角的表示：（1）终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)2()kkZ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.例1．与角1825的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿25，合＿536＿弧度。（2）终边与终边共线(的终边在终边所在直线上)()kkZ.（3）终边与终边关于x轴对称2()kkZ.（4）终边与终边关于y轴对称2()kkZ.（5）终边与终边关于原点对称2()kkZ.（6）终边在x轴上的角可表示为：,kkZ；终边在y轴上的角可表示为：,2kkZ；终边在坐标轴上的角可表示为：,2kkZ.例2．的终边与6的终边关于直线xy对称，则＝____Zkk,32________。4、与2的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.例3．若是第二象限角，则2是第__一、三___象限角5.弧长公式：||lR，扇形面积公式：211||22SlRR，1弧度(1rad)57.3.例4．已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。答案：22cm）6、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P(,)xy是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220rxy，那么sin,cosyxrr，tan,0yxx，cotxy(0)y，secrx0x，csc0ryy。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。例5．（1）已知角的终边经过点P(5，－12)，则cossin的值为＿713＿。（2）设是第三、四象限角，mm432sin，则m的取值范围是___（－1，)23____.2（3）若0|cos|cossin|sin|，试判断)tan(cos)cot(sin的符号答：负7.三角函数线的特征是：正弦线MP“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线OM“躺在x轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A处(起点是A)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。例6．（1）若08，则sin,cos,tan的大小关系为_____（tansincos）（2）若为锐角，则,sin,tan的大小关系为_______,（sintan）（3）函数)3sin2lg(cos21xxy的定义域是_______,答案：2(2,2]()33kkkZ8.特殊角的三角函数值：30°45°60°0°90°180°270°15°75°sin212223010－1624624cos23222110－10624624tan3313002-32+3cot3133002+32-39.同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：222222sincos1,1tansec,1cotcsc（2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,（3）商数关系：sincostan,cotcossin同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。例7．（1）函数sintancoscoty的值的符号为____大于0,（2）若220x，则使xx2cos2sin12成立的x的取值范围是____,yTAxαBSOMP3答案：[0,]4],43[（3）已知53sinmm，)2(524cosmm，则tan＝___125,（4）已知11tantan，则cossincos3sin＝____35；2cossinsin2＝________513_;（5）已知a200sin，则160tan等于（B）A、21aaB、21aaC、aa21D、aa21；（6）已知xxf3cos)(cos，则)30(sinf的值为______－1。10.三角函数诱导公式（2k）的本质是：奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k+,02；(2)转化为锐角三角函数。例8．（1）97costan()sin2146的值为____2323____；（2）已知54)540sin(，则)270cos(___54___，若为第二象限角，则)180tan()]360cos()180[sin(2____1003____。11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sinsincoscossinsin22sincos令2222222coscoscossinsincos2cossin2cos112sintantan1+cos2tancos1tantan21cos2sin22tantan21tan令　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　　　例9．（1）下列各式中，值为12的是（C）A、1515sincosB、221212cossinC、22251225tan.tan.D、1302cos；4（2）命题P：0tan(AB)，命题Q：0tanAtanB，则P是Q的（）A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件；（3）已知35sin()coscos()sin，那么2cos的值为___725_；（4）131080sinsin的值是____4__；(5)已知0tan110a，求0tan50的值（用a表示）甲求得的结果是313aa，乙求得的结果是212aa，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______甲、乙都对;12.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如()()，2()()，2()()，22，222等），例10．（1）已知2tan()5，1tan()44，那么tan()4的值是____322_；（2）已知02，且129cos()，223sin()，求cos()的值；答案：490729（3）已知,为锐角，sin,cosxy，3cos()5，则y与x的函数关系为______23431(1)555yxxx；(2)三角函数名互化(切割化弦)，例11．（1）求值sin50(13tan10)；（答案：1（2）已知sincos21,tan()1cos23，求tan(2)的值；答案：18(3)公式变形使用（tantantan1tantan。例12．（1）已知A、B为锐角，且满足tantantantan1ABAB，则cos()AB＝__22_；(2)设ABC中，33tanAtanBtanAtanB，34sinAcosA，则此三角形是__等边__三角形；5(4)三角函数次数的降升(降幂公式：21cos2cos2，21cos2sin2与升幂公式：21cos22cos，21cos22sin)。例13．(1)若32(,)，化简111122222cos为_____sin2；（2）函数2553f(x)sinxcosxcosx532(xR)的单调递增区间为_______51212[k,k](kZ)(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。例14．（1）化简tan(cossin)sintancotcsc；（）（2）求证：21tan1sin212sin1tan22；（sin）（3）：化简42212cos2cos22tan()sin()44xxxx（1cos22x）(6)常值变换主要指“1”的变换（221sincosxx22sectantancotxxxxtansin42等），例15．已知tan2，求22sinsincos3cos.（35）(7)正余弦“三兄妹—sincossincosxxxx、”的内存联系――“知一求二”，例16．（1）若sincosxxt，则sincosxx212t__，特别提醒：这里[2,2]t；（2）若1(0,),sincos2，求tan的值。；473（3）已知2sin22sin1tank()42，试用k表示sincos的值。1k13、辅助角公式中辅助角的确定：22sincossinaxbxabx(其中角所在的象限由a,b的符号确定，角的值由tanba确定)在求最值、化简时起着重要作用。例17．（1）若方程sin3cosxxc有实数解，则c的取值范围是___[－2,2]________.；6（2）当函数23ycosxsinx取得最大值时，tanx的值是___32___；（3）如果sin2cos()fxxx是奇函数，则tan=－2；（4）求值：20sin6420cos120sin3222_______32_；14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sinyx和余弦函数cosyx图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,,,222的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。15、正弦函数sin()yxxR、余弦函数cos()yxxR的性质：（1）定义域：都是R。（2）值域：都是1,1，对sinyx，当22xkkZ时，y取最大值1；当322xkkZ时，y取最小值－1；对cosyx，当2xkkZ时，y取最大值1，当2xkkZ时，y取最小值－1。例18．（1）若函数sin(3)6yabx的最大值为23，最小值为21，则a__，b；答案：1,12ab或1b（2）函数xx