高中数学三角函数解题技巧和公式(已整理)

数学1关于三角函数的几种解题技巧本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下：一、关于)2sin(cossincossin或与的关系的推广应用：1、由于cossin21cossin2cossin)cos(sin222故知道)cos(sin，必可推出)2sin(cossin或，例如：例1已知33cossin,33cossin求。分析：由于)coscossin)(sincos(sincossin2233]cossin3)cos)[(sincos(sin2其中，cossin已知，只要求出cossin即可，此题是典型的知sin-cos，求sincos的题型。解：∵cossin21)cos(sin2故：31cossin31)33(cossin212]cossin3)cos)[(sincos(sincossin2333943133]313)33[(332例2若sin+cos=m2，且tg+ctg=n，则m2n的关系为（）。A．m2=nB．m2=12nC．nm22D．22mn分析：观察sin+cos与sincos的关系：sincos=2121)cos(sin22m而：nctgtgcossin1故：1212122nmnm，选B。例3已知：tg+ctg=4，则sin2的值为（）。数学2A．21B．21C．41D．41分析：tg+ctg=41cossin4cossin1故：212sincossin22sin。答案选A。例4已知：tg+ctg=2，求44cossin分析：由上面例子已知，只要44cossin能化出含sin±cos或sincos的式子，则即可根据已知tg+ctg进行计算。由于tg+ctg=2cossin121cossin，此题只要将44cossin化成含sincos的式子即可：解：44cossin=44cossin+2sin2cos2-2sin2cos2=（sin2+cos2）-2sin2cos2=1-2(sincos)2=1-2)21(2=211=21通过以上例子，可以得出以下结论：由于cossin，sincos及tg+ctg三者之间可以互化，知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的；如果通过已知sincos，求含cossin的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于（cossin）2=1±2sincos，要进行开方运算才能求出cossin二、关于“托底”方法的应用：在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tg（或ctg）与含sin（或cos）的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下：例5已知：tg=3，求cossin2cos3sin的值。分析：由于cossintg，带有分母cos，因此，可把原式分子、分母各项除以cos，“造出”tg，即托出底：cos；解：由于tg=30cos2k故，原式=013233123coscoscossin2coscos3cossintgtg例6已知：ctg=-3，求sincos-cos2=?分析：由于sincosctg，故必将式子化成含有sincos的形式，而此题与例4有所不同，式子本身没数学3有分母，为了使原式先出现分母，利用公式：1cossin22及托底法托出其分母，然后再分子、分母分别除以sin，造出ctg：解：222222cossincoscossincoscossin1cossin2sin,分母同除以分子22221)sincos(1)sincos(sincosctgctgctg56)3(1)3(322例7（95年全国成人高考理、工科数学试卷）设20,20yx，)6sin()3sin(sinsinyxyx且求：)3)(33(ctgyctgx的值分析：此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由于20,20yx，故0sin,0sinyx，在等式两边同除以yxsinsin，托出分母yxsinsin为底，得：解：由已知等式两边同除以yxsinsin得：1sinsin6coscos6sinsinsin3coscos3sin1sinsin)6sin()3sin(yyyxxyxyx334)3)(33(1)3)(33(431)3)(13(411sinsin3cossinsincos341ctgyctgxctgyctgxctgyctgxyyyxxx“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。由于cossintg，sincosctg，即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系，故它们间的互化需“托底”，通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目的。而添加分母的方法主要有两种：一种利用1cossin22，把22cossin作为分母，并不改变原式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。三、关于形如：xbxasincos的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用：数学4可以从公式)sin(sincoscossinxAxAxA中得到启示：式子xbxasincos与上述公式有点相似，如果把a，b部分变成含sinA，cosA的式子，则形如xbxasincos的式子都可以变成含)sin(xA的式子，由于-1≤)sin(xA≤1，所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点：不能直接把a当成sinA，b当成cosA，如式子：xxsin4cos3中，不能设sinA=3，cosA=4，考虑：-1≤sinA≤1，-1≤cosA≤1，可以如下处理式子：xbabxbaabaxbxasincossincos222222由于1)()(222222babbaa。故可设：22sinbaaA，则AAsin1cos，即：22cosbabA∴)sin()sincoscos(sinsincos2222xAbaxAxAbaxbxa无论xA取何值，-1≤sin(A±x)≤1，22ba≤)sin(22xAba≤22ba即：22ba≤xbxasincos≤22ba下面观察此式在解决实际极值问题时的应用：例1（98年全国成人高考数学考试卷）求：函数xxxycossincos32的最大值为（AAAA）A．231B．13C．231D．13分析：xxxx2sin21cossin221cossin，再想办法把x2cos变成含xcso2的式子：212coscos1cos22cos22xxxx于是：xxy2sin21212cos3xx2sin21232cos2323)2sin212cos23(xx数学5由于这里：1)21()23(,21,232222baba则∴23)2sin212cos23(1xxy设：21cos,23123sin22AbaaA则∴232sincos2cossinxAxAy23)2sin(xA无论A-2x取何值，都有-1≤sin(A-2x)≤1，故231≤y≤231∴y的最大值为231，即答案选A。例2（96年全国成人高考理工科数学试卷）在△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=3，分别在边AB、BC、CA上任取点D、E、F，使△DEF为正三角形，记∠FEC=∠α，问：sinα取何值时，△EFD的边长最短？并求此最短边长。分析：首先，由于222224)3(1ABCABC，可知△ABC为Rt△，其中AB为斜边，所对角∠C为直角，又由于30,21sinAABBCA故，则∠B=90°—∠A=60°，由于本题要计算△DEF的最短边长，故必要设正△DEF的边长为l，且要列出有关l为未知数的方程，对l进行求解。观察△BDE，已知：∠B=60°，DE=l，再想办法找出另两个量，即可根据正弦定理列出等式，从而产生关于l的方程。在图中，由于EC=l·cosα，则BE=BC-EC=1-l·cosα。而∠B+∠BDE+∠1=180°∠α+∠DEF+∠1=180°∠BDE=∠α∠B=60°，∠DEF=60°∴在△BDE中，根据正弦定理：60sinsincos1sinsinllBDEBDEBFsincos2323sin)cos1(23llll数学6sincos2323l在这里，要使l有最小值，必须分母：sincos23有最大值，观察：271)23(1,23,sincos232222baba∴)sin772cos721(27sincos23设：721sinA，则772cosA故：)sincoscos(sin27sincos23AA)sin(27A∴sincos23的最大值为27。即：l的最小值为：7212723而)sin(A取最大值为1时，AkkA2222∴772cos)22sin(sinAAk即：772sin时，△DEF的边长最短，最短边长为721。从以上例子可知，形如xbxasincos适合于计算三角形函数的极值问题。计算极值时与式子的加、减是无关，与22ba的最值有关；其中最大值为22ba，最小值为22ba。在计算三角函数的极值应用题时，只要找出形如xbxasincos的关系式，即能根据题意，求出相关的极值。数学7三角函数知识点解题方法总结一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式一步到位转换到区间（-90º，90º）的公式.1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；2.cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)；3.tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；4.cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”1.sinα+cosα0(或0)óα的终边在直线y+x=0的上方（或下方）;2.sinα-cosα0(或0)óα的终边在直线y-x=0的上方（或下方）;3.|sinα||cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;4.|sinα||cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内.三、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理，熟记常用勾股数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），仍然注意“符号看象限”。四、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。五、“见齐思弦”=“化弦为一”：已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α.六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：1.sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β;2.cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.七、见“sin