2017届高三文科数学(通用版)二轮复习第1部分专题5突破点11直线与圆Word版含解析

专题五平面解析几何建知识网络明内在联系扫一扫，各专题近五年全国考点分布高考点拨]平面解析几何是高考的重点内容，常以“两小一大”呈现，两小题主要考查直线与圆的位置关系．双曲线的图象和性质(有时考查抛物线的图象和性质)，一大题常考查以椭圆(或抛物线)为背景的图象和性质问题．基于上述分析，本专题将从“直线与圆”“圆锥曲线的定义、方程、几何性质”“圆锥曲线中的综合问题”三条主线引领复习和提升．突破点11直线与圆提炼1圆的方程(1)圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.(2)圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F＞0，表示以－D2，－E2为圆心，D2＋E2－4F2为半径的圆．提炼2求解直线与圆相关问题的两个关键点(1)三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理．(2)两个公式：点到直线的距离公式d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2，弦长公式|AB|＝2r2－d2(弦心距d)．提炼3求距离最值问题的本质(1)圆外一点P到圆C上的点距离的最大值为|PC|＋r，最小值为|PC|－r，其中r为圆的半径．(2)圆上的点到直线的最大距离是d＋r，最小距离是d－r，其中d为圆心到直线的距离，r为圆的半径．(3)过圆内一点，直径是最长的弦，与此直径垂直的弦是最短的弦．回访1圆的方程1．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x216＋y24＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．x－322＋y2＝254由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(0m4，r0)，则m2＋4＝r2，4－m2＝r2，解得m＝32，r2＝254.所以圆的标准方程为x－322＋y2＝254.]2．(2014·山东高考)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为______________________．(x－2)2＋(y－1)2＝4设圆C的圆心为(a，b)(b0)，由题意得a＝2b0，且a2＝(3)2＋b2，解得a＝2，b＝1.∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.]回访2直线与圆的相关问题3．(2016·全国甲卷)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－43B.－34C.3D.2A由圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝|a＋4－1|a2＋1＝1，解得a＝－43.]4．(2016·全国乙卷)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23，则圆C的面积为________．4π圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圆心C(0，a)，半径r＝a2＋2，|AB|＝23，点C到直线y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距离d＝|0－a＋2a|2，由勾股定理得2322＋|0－a＋2a|22＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.]热点题型1圆的方程题型分析：求圆的方程是高考考查的重点内容，常用的方法是待定系数法或几何法．(1)(2016·黄山一模)已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成的两段弧长之比为1∶2，则圆C的方程为________．(2)(2016·郑州二模)已知⊙M的圆心在第一象限，过原点O被x轴截得的弦长为6，且与直线3x＋y＝0相切，则圆M的标准方程为________．(1)x2＋y±332＝43(2)(x－3)2＋(y－1)2＝10(1)因为圆C关于y轴对称，所以圆C的圆心C在y轴上，可设C(0，b)，设圆C的半径为r，则圆C的方程为x2＋(y－b)2＝r2.依题意，得12＋－b2＝r2，|b|＝12r，解得r2＝43，b＝±33.所以圆C的方程为x2＋y±332＝43.(2)法一：设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a＞0，b＞0，r＞0)，由题意知b2＋9＝r2，|3a＋b|32＋12＝r，a2＋b2＝r2，解得a＝3，b＝1，r2＝10，故⊙M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.法二：因为圆M过原点，故可设方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＝0，又被x轴截得的弦长为6且圆心在第一象限，则－D22＝32，故D＝－6，与3x＋y＝0相切，则－E2－D2＝13，即E＝13D＝－2，因此所求方程为x2＋y2－6x－2y＝0.故⊙M的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.]求圆的方程的两种方法1．几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．2．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．变式训练1](1)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x＝－2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为23，且与直线l2：2x－5y－4＝0相切，则圆M的方程为()A．(x－1)2＋y2＝4B.(x＋1)2＋y2＝4C.x2＋(y－1)2＝4D.x2＋(y＋1)2＝4(2)(2016·长春一模)抛物线y2＝4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，其准线与x轴的交点为M，则过M，A，B三点的圆的标准方程为________．(1)B(2)(x－1)2＋y2＝4(1)由已知，可设圆M的圆心坐标为(a,0)，a＞－2，半径为r，得a＋22＋32＝r2，|2a－4|4＋5＝r，解得满足条件的一组解为a＝－1，r＝2，所以圆M的方程为(x＋1)2＋y2＝4.故选B.(2)由题意知，A(1,2)，B(1，－2)，M(－1,0)，△AMB是以点M为直角顶点的直角三角形，则线段AB是所求圆的直径，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.]热点题型2直线与圆、圆与圆的位置关系题型分析：直线与圆、圆与圆的位置关系是高考考查的热点内容，解决的方法主要有几何法和代数法．(1)(2016·全国丙卷)已知直线l：x－3y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.4如图所示，∵直线AB的方程为x－3y＋6＝0，∴kAB＝33，∴∠BPD＝30°，从而∠BDP＝60°.在Rt△BOD中，∵|OB|＝23，∴|OD|＝2.取AB的中点H，连接OH，则OH⊥AB，∴OH为直角梯形ABDC的中位线，∴|OC|＝|OD|，∴|CD|＝2|OD|＝2×2＝4.](2)(2016·开封一模)如图13­1，已知圆G：(x－2)2＋y2＝r2是椭圆x216＋y2＝1的内接△ABC的内切圆，其中A为椭圆的左顶点．(1)求圆G的半径r；(2)过点M(0,1)作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，证明：直线EF与圆G相切．图13­1解](1)设B(2＋r，y0)，过圆心G作GD⊥AB于D，BC交长轴于H.由GDAD＝HBAH得r36－r2＝y06＋r，即y0＝r6＋r6－r，①2分而B(2＋r，y0)在椭圆上，y20＝1－2＋r216＝12－4r－r216＝－r－2r＋616，②3分由①②式得15r2＋8r－12＝0，解得r＝23或r＝－65(舍去).5分(2)证明：设过点M(0,1)与圆(x－2)2＋y2＝49相切的直线方程为y＝kx＋1，③则23＝|2k＋1|1＋k2，即32k2＋36k＋5＝0，④解得k1＝－9＋4116，k2＝－9－4116.将③代入x216＋y2＝1得(16k2＋1)x2＋32kx＝0，则异于零的解为x＝－32k16k2＋1.8分设F(x1，k1x1＋1)，E(x2，k2x2＋1)，则x1＝－32k116k21＋1，x2＝－32k216k22＋1，9分则直线FE的斜率为kEF＝k2x2－k1x1x2－x1＝k1＋k21－16k1k2＝34，于是直线FE的方程为y＋32k2116k21＋1－1＝34x＋32k116k21＋1.即y＝34x－73，则圆心(2,0)到直线FE的距离d＝32－731＋916＝23，故结论成立.12分1．直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点的距离，利用勾股定理计算．2．弦长的求解方法(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l＝2r2－d2(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)．(2)根据公式：l＝1＋k2|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)．(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解．变式训练2](1)(2016·哈尔滨一模)设直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则直线l的方程为________.【导学号：85952047】y＝x＋1直线l恒过定点M(0,1)，圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝4，易知点M(0,1)在圆C的内部，依题意当l⊥CM时直线l被圆C截得的弦最短，于是k·1－00－1＝－1，解得k＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1.](2)(2016·泉州一模)已知点M(－1,0)，N(1,0)，曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的3倍．①求曲线E的方程；②已知m≠0，设直线l1：x－my－1＝0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx＋y－m＝0交曲线E于B，D两点．当CD的斜率为－1时，求直线CD的方程．解]①设曲线E上任意一点坐标为(x，y)，由题意，x＋12＋y2＝3x－12＋y2，2分整理得x2＋y2－4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3为所求.4分②由题知l1⊥l2，且两条直线均恒过点N(1,0)，设曲线E的圆心为E，则E(2,0)，线段CD的中点为P，则直线EP：y＝x－2，设直线CD：y＝－x＋t，由y＝x－2，y＝－x＋t，解得点Pt＋22，t－22.7分由圆的几何性质，|NP|＝12|CD|＝|ED|2－|EP|2，而|NP|2＝t＋22－12＋t－222，|ED|2＝3，|EP|2＝|2－t|22，∴t＋22－12＋t－222＝3－|2－t|22，解得t＝0，或t＝3，11分所以直线CD的方程为y＝－x或y＝－x＋3.12分