8-2点积叉积解析

一、两向量的数量积二、两向量的向量积§8.2数量积向量积*混合积第八章简单介绍定义及计算.1M一、两向量的数量积W1.定义设向量的夹角为,称记作数量积(点积).在物理学中,cossF2Mba的与为baba,sFs上的投影为在ab记作故,0,时当同理b2.性质为两个非零向量,则有bajrPbbaaa)1(ba,)2(0baPrjaabxxabyyabzzab0xxyyzzababab记作2.性质(1)Prjxaa向量在数轴上的投影(简介)x同理可定义向量在y,z轴上的投影(2)3.点积的运算律(1)交换律(2)结合律)(ba)()(ba)(ba)(ba(3)分配律事实上,当0c时,显然成立;时当0cc)(bababcjrPacjrPcbabacjrPccbaccjrPjrPacjrPcbcjrPccacb)(jrPbacABCabc例1.证明三角形余弦定理cos2222abbac证:则cos2222abbac如图.设,aBC,bACcBA2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,,4.数量积的坐标表示!!!设则0zzyyxxbababa当为非零向量时,coszzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于cosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyx)(kajaiazyx)(kbjbibzyxjikjikbaba两向量的夹角公式,得)(MB,)(MABM例2.已知三点,)2,1,2(),1,2,2(,)1,1,1(BAMAMB.A解:,1,10,1,01则AMBcos10022AMB求MBMAMAMB故为).求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度例3.设均匀流速为的流体流过一个面积为A的平面域,与该平面域的单位垂直向量A解:单位时间内流过的体积PA的夹角为且vvnv为单位向量二、两向量的向量积引例.设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为OLP符合右手规则FsinOPOPFMOPMM矩是一个向量M:的力F作用在杠杆的P点上,则力F作用在杠杆上的力FoPFMFMQ1.定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,，的夹角为设ba,c,acbccsinabbac称c的与为向量babacba引例中的力矩右图三角形面积abS＝2.性质为非零向量,则，0sin或即0aa)1(0ba,)2(0baba∥,0,0时当baba∥0basinab03.运算律(2)分配律(3)结合律(证明略)abcba)(cbcaba)()(ba)(baba)1(证明:(交换律不成立!!!)xxbayyabzzab)(kajaiazyx)(kbjbibzyx4.向量积的坐标表示式!!!设则,kajaiaazyx,kbjbibbzyx)(iibaxxibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk向量积的行列式计算法kjixayazaxbybzb,zxzxbbaaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx例4.已知三点,)7,4,2(),5,4,3(,)3,2,1(CBA角形ABC的面积解:如图所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21ABAC21ACAB求三*三、向量的混合积(简介)1.定义已知三向量称数量混合积.记作cba)(cba,,,cba的为cba,,xyzxyzxyzaaabbbccc内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:),,(zzyyxxbabababa),,(zyxaaaazzyyxxbabababa),,(,),,(,),,(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积:kjixayazaxbybzbba混合积:2.向量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbababazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,,0zyxzyxzyxcccbbbaaa()[]0abcabc0ba思考与练习设计算并求夹角的正弦与余弦.)3,1,1(1cos,||||23abab||11sin12||||abab答案:ba,,1baba,,2jibkjia,baba及||6,||2ab作业（不交，课下练习）P223,4,6,7,9,10,12