数学建模假期作业(2000B-钢管订购)

2000B钢管的订购和运输问题【摘要】本文建立了一个运输问题的最优化模型。通过分析题图一，我们我们逐个计算出单位钢管由不同的钢厂运输到不同的铺设节点所需要的最小的运费，将公路、铁路和管道的网络图，转化为供需运输的价格表。这样，建立一个以总运输费用为目标函数的非线性规划数学模型，利用Lingo软件编程，即可求解出最少的运输费用，以及最少运输费用下相应的钢管订购和运输方案。通过对问题一中lingo运行结果的分析，我们得出S5钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，S1钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大。问题三模型的建立原理和问题一的相同，利用Lingo软件，求得最优解为1407149万元.【关键词】：非线性规划灵敏度分析0-1规划1问题重述要铺设一条→→…→输送天然气的主管道，如图一所示，经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有。图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。为方便计，1km主管道钢管称为1单位钢管。一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。钢厂iS在指定期限内能生产该钢管的最大数量为iS个单位，钢管出厂销价1单位钢管为ip万元，如下表：i1234567800800100020002000200030001601551551601551501601单位钢管的铁路运价如下表：里程(km)≤300301～350351～400401～450451～500运价(万元)2023262932里程(km)501～600601～700701～800801～900901～1000运价(万元)37445055601000km以上每增加1至100km运价增加5万元。公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点，而是管道全线）。（1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。（2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。（3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对题图二按（1）的要求给出模型和结果。1521,,,AAA2模型的假设与符号说明2.1基本假设:○1钢管在运输中由铁路运转为公路运时不计中转费用；○2所需钢管均由)7,...,1(iSi钢厂提供；○3假设运送的钢管路途中没有损耗。○4把“钢厂钢管的销价和产量上限变化对总费用和运购计划的影响”理解为在最优解附近的微小变化对总费用和运购计划的影响。销价最小变化是1万元，产量上限的最小变化是1个单位。○5沿管道或者原来有公路或者建有施工公路。○6一个钢管厂如果承担制造钢管，至少要生产500个单位。○7公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元，不足整公里按整公里计算。2.2符号说明::钢厂的最大生产能力；:钢厂的出厂钢管单位价格（单位：万元）；d：公路上1单位钢管的每公里运费（d=0.1万元）；e：铁路上1单位钢管的运费（分段函数，见表）；：天然气主管道铺设路线上的第j个节点；：1单位钢管从钢厂运到的最小费用（单位：万元）；：从到之间的距离（单位：千米）；：钢厂运到的钢管数；：运到节点的钢管向左铺设的数目；:运到节点的钢管向右铺设的数目；01it：钢厂是否提供钢管；W：所求钢管订购、运输的总费用（单位：万元）。3问题分析问题一：对于所有从钢厂订购的钢管必须运到天然气主管道铺设路线上的节点1521AAA，然后才能向左或右铺设。必须求出每个钢管厂721,,SSS到每个节点1521AAA每单位钢管的最小运输费用。对单位钢管从钢厂运输到主管道铺设节点的最小运费的求解，我们采用逐个求解。首先，找出有可能是费用较小的运输路径，然后分别计算出相应的铁路运输费用ijD和公路运输费用jkD1，总的运输费用)1min(jkijikDDC，然后比较ikC，取ikC最小值为单位钢管的从钢厂运输到铺设节点的最小费用。j表示所有运输中转点，于是就得到从某钢厂到某铺设点运输单位钢管的最少运输费用。每个铺设点分别向LR,两个方向展开铺设，通过Lingo编程求出最小铺设费用。运输费用加上购买费用再加上铺设费用就是我们所要求的总费用。问题二：通过问题一里面Lingo编程运行得出的结果，利用灵敏度分析，可以得出哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大。问题三：如铺设的管道是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络对于题图二，我们可以延用问题一里面的思想，在题图一的基础上多几条铺设路段，9，11，17节点的铺设方向变为ZLR,,三个方向，其他不变。4模型的建立与求解4.1模型一本模型用于解决问题一。对于第一问，我们逐个计算出单位钢管由不同的钢厂iS运输到不同的铺设节jA点所需要的最小的运费，将公路、铁路和管道的网络图，转化为供需运输的价格表，具体数据如下表1所示：表1：1钢管单位从Si到Ai的最少运费（单位：万元）1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15A1S170.7160.3140.298.63820.53.121.264.29296106121.21281422S215.7205.3190.2171.611195.58671.2114.2142146156171.21781923S230.7220.3200.2181.6121105.59686.248.2828696111.21181324S260.7250.3235.2216.6156140.5131116.284.262516176.283975S255.7245.3225.2206.6146130.5121111.279.257335171.273876S265.7255.3235.2216.6156140.5131121.284.262514526.211287S275.7265.3245.2226.6166150.5141131.299.276665638.2262对表1中的数据进行分析，我们得到一个非线性规划的模型。目标函数：目标函数是总费用W：钢管的出厂价格Q，运输费用P，以及铺设费用T。即W=Q+P+T，其中铺设费用T可以如下确定，从jA开始向左右两个方向铺设，铺设费用非别用jz和jy表示，单位长钢管的费用为d。向左铺设的总费用为：2)1(21jjjyydyddd向右铺设的总费用为：2)1(21jjjzzdzddd故1512)1(2)1(jjjjjzzyydT约束条件：(1)钢厂生产能力的限制)7,,1(500151itsxtiijiji(2)运到铺设节点jA的钢管全部用完)15,,2,1(71jzyxjjiij(3)铺设节点jA与1jA之间的钢管等于两点间的距离jy+1jz=jb(j=1,2…14)(4)端点限制01z015y(5)变量非负性限制)15,,1()7,,1(0,0,0jizyxjjij数学模型为：s.t.运用数学软件lingo编程求解，程序如下：model:sets:gangchang/S1..S7/:p,s,t;jiedian/A1..A15/:z,y,b;links(gangchang,jiedian):c,x;endsetsdata:s=80080010002000200020003000;d=0.1;p=160155155160155150160;b=104,301,750,606,194,205,201,680,480,300,220,210,420,500,;c=170.7160.3140.298.638.020.53.121.264.292.096.0106.0121.2128.0142.0215.7205.3190.2171.6111.095.586.071.2114.2142.0146.0156.0171.2178.0192.0230.7220.3200.2181.6121.0105.596.086.248.282.086.096.0111.2118.0132.0260.7250.3235.2216.6156.0140.5131.0116.284.262.051.061.076.283.097.0255.7245.3225.2206.6146.0130.5121.0111.279.257.033.051.071.273.087.0265.7255.3235.2216.6156.0140.5131.0121.284.262.051.045.026.211.028.0275.7265.3245.2226.6166.0150.5141.0131.299.277.066.056.038.226.02.0;enddatamin=@sum(links(i,j):(p(i)+c(i,j))*x(i,j))+d*0.5*@sum(jiedian(j):z(j)^2+z(j)+y(j)^2+y(j));@for(gangchang(i):@sum(jiedian(j):x(i,j))=500*t(i));@for(gangchang(i):@sum(jiedian(j):x(i,j))=s(i)*t(i));@for(jiedian(j):@sum(gangchang(i):x(i,j))=z(j)+y(j));@for(jiedian(j)|j#NE#15:b(j)=y(j)+z(j+1));y(15)=0;z(1)=0;@gin(@sum(links(i,j):x(i,j)));@for(gangchang(i):@bin(t(i)));end订购及运输、铺设情况如下表2、表3所示：表2：钢管的订购以及运输表1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15A1S000170.9163.6200265.5000000002S0179197.775.3490030000000003S00124.3128.683.10006640000004S0000000000000005S0018793.3319.70000342.541500006S0000000008.50863336211657S000000000000000表3：钢管的铺设方案1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15A010422646860618419012550532127075199286165075282010157617515930145111343350钢管订购、运输以及铺设的最小费用W=1278632万元。4.2灵敏度分析用于解决问题二。对于第二问，我们在lingo软件运行环境中，进行灵敏度分析，分别降低钢厂iS1单位钢管的出厂价格，得到的结果如下表4所示。表4：钢厂iS降低1单位钢管的出厂价对总费用的影响1p2p3p4p5p6p7p原来W1278632127863212786321278632127863212786321278632改变W1277832127783212776321278632127726312770681278632变化量△W-800-800-10000-1370-15690所以6S钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大。同样，我们在lingo软件运行环境中，分别提高钢厂iS最大供货量1单位等到新的总费用，结果如下表5所示。表5：提高钢厂iS最大供货量1单位对总费用的影响1S2S3S4S5S6S7S原来W1278632127863212786321278632127863212