当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 质量控制/管理 > 必修2-4.2.1直线与圆的位置关系
2020/6/61欢迎加微信交流:pzyandong点到直线的距离公式,圆的标准方程和一般方程分别是什么?222()()xaybr22220(40)xyDxEyFDEF0022||AxByCdAB2020/6/62欢迎加微信交流:pzyandong一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西70km处,受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?轮船港口台风2020/6/63欢迎加微信交流:pzyandong下面我们以太阳的起落为例.以蓝线为水平线,圆圈为太阳!注意观察!!2020/6/64欢迎加微信交流:pzyandong1.理解直线与圆的位置的种类.(重点)2.利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离(重点)3.会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.(难点)4.会用代数的方法来判断直线与圆的位置关系.(难点)2020/6/65欢迎加微信交流:pzyandong1.直线和圆只有一个公共点,叫做直线和圆相切.2.直线和圆有两个公共点,叫做直线和圆相交.3.直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.一、直线与圆的位置关系2020/6/66欢迎加微信交流:pzyandong1.利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断:二、直线与圆的位置关系的判定方法:22BACbBaAd直线l:Ax+By+C=0,圆O:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)dr直线与圆相离d=r直线与圆相切dr直线与圆相交2020/6/67欢迎加微信交流:pzyandong2.利用直线与圆的公共点的个数进行判断:2220()()设方程组消元所得一元二次方程的解的个数为AxByCxaybrn直线与圆相离n=0△0直线与圆相切n=1△=0直线与圆相交n=2△02020/6/68欢迎加微信交流:pzyandong例1.如图,已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆的位置关系;如果相交,求它们交点的坐标..xyOCABl2020/6/69欢迎加微信交流:pzyandong分析:方法二:可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系,判断直线与圆的位置关系.方法一:判断直线l与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几组实数解;2020/6/610欢迎加微信交流:pzyandong判断直线与圆的位置关系判断直线与圆的方程组成的方程组是否有解(1)有解,直线与圆有公共点.有一组,则相切;有两组,则相交.(2)无解,则直线与圆相离.【提升总结】2020/6/611欢迎加微信交流:pzyandong1.判断直线与圆的位置关系常用几何法,其一般步骤分别为:①把圆的方程化为标准方程,求出圆的圆心坐标和半径r.②利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d.③判断:当d>r时,直线与圆相离;当d=r时,直线与圆相切;当d<r时,直线与圆相交.【提升总结】2020/6/612欢迎加微信交流:pzyandong2.已知直线与圆的位置关系时,常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系,以此来确定参数的值或取值范围.2020/6/613欢迎加微信交流:pzyandong•直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数___个___个___个几何法:设圆心到直线的距离d=|Aa+Bb+C|A2+B2d___rd___rd___r判定方法代数法:由Ax+By+C=0,x-a2+y-b2=r2,消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ___0Δ___0Δ___0图形210<=>>=<2020/6/614欢迎加微信交流:pzyandong•1.直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是()•A.相交B.相切•C.相离D.相切或相交•2.过原点作圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线,方程为__________________.2020/6/615欢迎加微信交流:pzyandong•判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.•1.直线与圆的位置关系可以用代数法或几何法判断.()•2.过圆外一点作圆的切线有两条.()•3.当直线与圆相离时,可求圆上点到直线的最大距离和最小距离.()•4.直线与圆有公共点,则直线与圆相交或相切.()•答案:1.√2.√3.√4.√2020/6/616欢迎加微信交流:pzyandong•已知圆的方程是x2+y2=2,直线y=x+b,当b为何值时,圆与直线相交、相切、相离?•直线与圆位置关系的判断2020/6/617欢迎加微信交流:pzyandong解:方法一:判断直线与圆位置关系问题可转化为,b为何值时,方程组x2+y2=2,①y=x+b,②有两组不同实数解;有两组相同实数解;无实数解的问题.②代入①,整理得2x2+2bx+b2-2=0.③方程③的根的判别式Δ=(2b)2-4×2(b2-2)=-4(b+2)(b-2).2020/6/618欢迎加微信交流:pzyandong当-2b2时,Δ0,方程组有两组不同实数解,因此直线与圆有两个公共点,直线与圆相交;当b=2或b=-2时,Δ=0,方程组有两组相同的实数解,因此直线与圆只有一个公共点,直线与圆相切;当b-2或b2时,Δ0,方程组没有实数解,因此直线与圆没有公共点,直线与圆相离.2020/6/619欢迎加微信交流:pzyandong方法二:如图,圆心O(0,0)到直线y=x+b的距离为d=|b|2,圆的半径r=2.∴当d=r,|b|=2,即b=2或b=-2时,圆与直线相切.∵b为直线的截距,数形结合可知,当-2b2时,直线与圆相交,当b2或b-2时,直线与圆相离.2020/6/620欢迎加微信交流:pzyandong•直线与圆位置关系的两种判断方法比较(1)若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法较为简单.(2)若直线或圆的方程中含有参数,且圆心到直线的距离较复杂,则用代数法较简单.2020/6/621欢迎加微信交流:pzyandong1.若直线xa+yb=1与圆x2+y2=1有公共点,则()A.a2+b2≤1B.a2+b2≥1C.1a2+1b2≤1D.1a2+1b2≥1解析:直线xa+yb=1与圆x2+y2=1有公共点,因此圆心(0,0)到直线bx+ay-ab=0的距离应小于等于1.∴|-ab|a2+b2≤1.∴1a2+1b2≥1.答案:D2020/6/622欢迎加微信交流:pzyandong•切线问题(1)求圆x2+y2=10的切线方程,使得它经过点M(2,6).(2)求圆x2+y2=4的切线方程,使得它经过点Q(3,0).思路点拨:(1)判定点M在圆上,由MO的斜率确定切线斜率,由点斜式写切线方程.(2)判定点Q在圆外,设点斜式,由相切关系确定斜率k,回代得切线方程.2020/6/623欢迎加微信交流:pzyandong解:(1)∵点M的坐标适合圆的方程,∴点M在圆x2+y2=10上.由题可知圆心为O(0,0),则直线OM的斜率kOM=62,∵圆的切线垂直于经过切点的半径,∴所求切线的斜率为k=-26.故经过点M的切线方程为y-6=-26·(x-2),整理得2x+6y-10=0.2020/6/624欢迎加微信交流:pzyandong(2)容易判断点Q(3,0)在圆外.方法一:设切线的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,又圆的圆心为(0,0),半径为2,∴|-3k|1+k2=2.解得k=±255.∴所求切线方程为y=±255(x-3).2020/6/625欢迎加微信交流:pzyandong方法二:设所求切线的切点为P(x0,y0),写出切线方程x0x+y0y=4.由点P在圆上得方程x20+y20=4.由点Q在切线上得x0·3+y0·0=4,解得x0=43,从而y0=±253.∴所求切线方程为43x±253y=4,即y=±255(x-3).2020/6/626欢迎加微信交流:pzyandong•过一点的圆的切线方程的求法•(1)当点在圆上时,圆心与该点的连线与切线垂直,从而求得切线的斜率,用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.•(2)若点在圆外时,过这点的切线将有两条,但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条,这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在.2020/6/627欢迎加微信交流:pzyandong2.过直线x+y-22=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P的坐标是________.解析:设P(x,y),则由已知可得PO(O为原点)与切线的夹角为30°,得|PO|=2,由x2+y2=4,x+y=22,可得x=2,y=2.答案:(2,2)2020/6/628欢迎加微信交流:pzyandong•已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0.•(Ⅰ)求证:直线l恒过定点.•(Ⅱ)判断直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短?并求截得的弦长最短时m的值以及最短长度.•弦长问题2020/6/629欢迎加微信交流:pzyandong解:(1)直线l的方程(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0经整理得(2x+y-7)m+(x+y-4)=0.由于m的任意性,于是有2x+y-7=0,x+y-4=0.解此方程组,得x=3,y=1.即直线l恒过定点D(3,1).2020/6/630欢迎加微信交流:pzyandong(2)因为直线l恒经过圆C内一点D,所以(用《几何画板》软件,探究容易发现)当直线经过圆心C时被截得的弦最长,它是圆的直径;当直线l垂直于CD时被截得的弦长最短.由C(1,2),D(3,1),可知直线CD的斜率为kCD=-12,所以当直线l被圆C截得弦最短时,直线l的斜率为2,于是有-2m+1m+1=2,解得m=-34.2020/6/631欢迎加微信交流:pzyandong此时直线l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y-5=0.又|CD|=1-32+2-12=5,所以,最短弦长为225-5=45.直线l被圆C截得的弦最短时m的值是-34,最短长度是45.2020/6/632欢迎加微信交流:pzyandong求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法:如图1,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为|AB|,则有|AB|22+d2=r2,即|AB|=2r2-d2.(2)代数法:如图2所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),2020/6/633欢迎加微信交流:pzyandong则|AB|=x1-x22+y1-y22=1+k2|x1-x2|=1+1k2|y1-y2|(直线l的斜率k存在).2020/6/634欢迎加微信交流:pzyandong•3.过原点的直线与圆x2+y2-2x-4y+4=0相交所得弦的长为2,则该直线的方程为__________.•解析:圆的方程化为标准形式为(x-1)2+(y-2)2=1,又相交所得弦长为2,故相交弦为圆的直径,由此得直线过圆心(1,2),故所求直线方程为2x-y=0.•答案:2x-y=02020/6/635欢迎加微信交流:pzyandong1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中,几何法要结合圆的几何性质进行判断,一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元,计算量大,不如几何法简捷.2.一般地,在解决圆和直线相交时,应首先考虑圆心到直线的距离,弦长的一半,圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组,消去x或y,组成一个一元二次方程,利用方程根与系数的关系表达出弦长l=k2+1·x1+x22-4x1x2=k2+1|x1-x2|.
本文标题:必修2-4.2.1直线与圆的位置关系
链接地址:https://www.777doc.com/doc-5722998 .html