2016理科数学全国卷1

，23绝密★启用前试卷类型：A2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）理科数学本试题卷共5页，24题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效。3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设集合A={x|x2﹣4x+3﹤0}，B={x|2x﹣3﹥0}，则A∩B=（A）233，（B）233，（C）231，（D）323，【参考答案】D【解析】对于集合A所给出的二次方程的解为（1,3），对于集合B的解为所以（2）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（A）1（B）2（C）3（D）2【参考答案】B【解析】将左端展开为x+xi，与右端比较，对应系数相等。所以x=1，y=1.所以|x+yi|=222yx.（3）已知等差数列{an}的前9项的和为27，a10=8，则a100=（A）100（B）99（C）98（D）97【参考答案】C【解析】2729919aaS，所以62591aaa，a5=3，进而323，BA得到公差1510510aad。则989010100daa.（4）某公司的班车在7:30、8:00、8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A）31（B）21（C）32（D）43【参考答案】B【解析】设小明到达车站的时刻为t，当t位于(8:00，8:20)之间时，小明等车的时间超过10分钟。所以他等车超过10分钟的概率为那么他等车不超过10分钟的概率也为（5）已知方程132222nmynmx表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（A）3,1（B）3,1（C）3,0（D）3,0【参考答案】A【解析】焦距432222nmnmc，所以m=1，且该方程表示双曲线，所以1+n﹥0，3﹣n﹥0，解得n的范围是3,1.（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径。若该几何体的体积是328π，则它的表面积是（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π【参考答案】A【解析】由三视图可知，该几何体为一个被挖去81角的球，故体积33487rπV，解得半径r=2.该球全表面积πrπS144872，加上三个直角扇形面积πrπS3432，故总面积为17π.21P21（7）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图像大致为【参考答案】D【解析】首先确定原函数带绝对值，所以存在不可导点x=0，排除（A）、（C）；当x→+∞时，xfy，排除（B）：所以选择（D）（8）若a﹥b﹥1，0﹤c﹤1，则（A）ac﹤bc（B）abc﹤bac（C）alogbc﹤blogac（D）logac﹤logbc【参考答案】C【解析】对于选项（A），设函数cxxf，当10c时，f(x)单调递增，所以ac﹥bc；对于选项（B），设函数1cxxf，当10c时，f(x)单调递减，所以11ccba，即abc﹥bac；对于选项（C），设函数cxxxflnln（x1），则cxxflnln1，显然0xf恒成立，所以f(x)单调递减，故有cbbcaalnlnlnln，由对数换底变换可知，alogbc﹤blogac；对于选项（D），设函数xxfclog，当10c时，f(x)单调递减，所以logca﹤logcb，由对数换底变换可知：logac﹥logbc.（9）执行右面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出的x，y的值满足（A）y=2x（B）y=3x（C）y=4x（D）y=5x【参考答案】C【解析】执行第一步：x1=0，y1=1，n1=1，021112nxx，1112yny判断？362222yx（否），2112nn执行第二步：x2=0，y2=1，n2=2，2121223nxx，2223yny判断？362323yx（否），3123nn执行第三步：x3=21，y3=2，n3=3，2321334nxx，6334yny判断？362424yx（是）输出，此时234x，y4=6，满足关系y=4x（10）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点。已知|AB|=24，|DE|=52，则C的焦点到准线的距离为（A）2（B）4（C）6（D）8【参考答案】B【解析】设抛物线方程为pxy22(p﹥0)，设圆的方程为222ryx，坐标原点为O，线段AB中点为M，线段DE中点为N，点A的横坐标为xA.显然2pON，在ΔDON应用勾股定理可知：4522pr；联立抛物线与圆的方程得到：222rpxxAA，在ΔAOM应用勾股定理可知：228Axr，联立以上方程可解得p=4.所以C的焦点到准线的距离为4.（11）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m，n成角的正弦值为（A）23（B）22（C）33（D）31【参考答案】A【解析】因为α∥平面CB1D1，由空间直线的可平移性，所以直线m∥直线BD，直线n∥直线A1B，做辅助线A1D，可构成正方体ABCD﹣A1B1C1D1中的一个等边ΔA1BD，所以m，n成角为600，所以（12）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω﹥0，|φ|≤2π)，x=4π为f(x)的零点，4πx为y=f(x)图像的对称轴，且f(x)在36518ππ，单调，则ω的最大值为（A）11（B）9（C）7（D）5【参考答案】B【解析】因为x=4π为f(x)的零点，所以πkφωπ14，因为4πx为y=f(x)图像的对称轴，所以21242πkφωπ，两式作差，可得1212kkω所以ω只能为奇数；两式作和，可得21221kkπφ；记k3=k1+k2，又因为f(x)在36518ππ，单调，所以xf在36518ππ，上无零点，φxωωxfcos，记θ=ωx+φ，则θ∈φπωφπω36518，232ππ，，所以有不等式组23365218πφπωπφπω，解得πφωπφ536554189，此不等式若有意义，必有6πφ，综上可知26πφπ，所以只能有k3=0，解得4πφ，所以929ω，即ω的最大值为9.（注：以上k均满足k∈Z）第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。（13）设向量)1,(ma，)2,1(b，且，则m_______2360sin0【参考答案】﹣2【解析】9122mba，411222mba所以可解得m=﹣2（14）5)2(xx的展开式中，3x的系数是_______（用数字填写答案）【参考答案】10【解析】二项展开式255512kkkkxCT，因为325k，所以k=4，则3x的系数为10245C（15）设等比数列na满足1031aa，542aa，则naaa21的最大值为________【参考答案】64【解析】设数列{an}首项为a1，公比为q，则a1+a1q2=10，a1q+a1q3=5，两式相除解得公比21q，代回原式解得a1=8.设272112122n-nnnnnnqaaaaT，注意到n只能为正整数，所以当n取3或4时，Tn取得最大值64.（16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元，该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为____________元【参考答案】216000【解析】设生产xkg的产品A，ykg的产品B，则有线性约束条件60035903.01505.05.1yxyxyx，可设利润函数z=2100x+900y，在平面Oxy坐标系中画出相关区域，可得当10060yx时有最大利润为216000元.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cAbBaC)coscos(cos2（Ⅰ）求C（Ⅱ）若7c，ABC的面积为233，求ABC的周长.【答案】（Ⅰ）C=600；（Ⅱ）75ABCS（18）（本小题满分12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，FDAF2，AFD90°，且二面角EAFD与二面角FBEC都是60°（Ⅰ）证明：平面ABEF平面EFDC（Ⅱ）求二面角ABCE的余弦值【答案】（Ⅰ）证明略；（Ⅱ）19192cosθ（19）（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数（Ⅰ）求X的分布列（Ⅱ）若要求5.0)(nXP，确定n的最小值（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n与20n之中选其一，应选用哪个？【答案】（Ⅰ）随机变量X的分布列X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04（Ⅱ）n的最小值为19；（Ⅲ）选用n=19的方案（20）（本小题满分12分）设圆015222xyx的圆心为A，直线l过点)0,1(B且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E（Ⅰ）证明：EBEA为定值，并写出点E的轨迹方程（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线1C，直线l交1C于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围【答案】（Ⅰ）|EA|+|EB|=4为定值，点E的轨迹方程为013422yyx（Ⅱ）3812MPNQS四边形（21）（本小题满分12分）已知函数2)1()2()(xaexxfx有两个零点（Ⅰ）求a的取值范围（Ⅱ）设1x，2x是)(xf的两个零点，证明：221xx【答案】（Ⅰ）a﹥0；（Ⅱ）证明略请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号（22）（本小题满分10