灰色控制PID控制算法

灰色控制PID控制算法PID控制算法即比例积分微分控制算法，该算法简单、鲁棒性好、可靠性高，在工业控制中应用广泛，尤其适用于建立精确数学模型的控制系统。但是对于非线性、时变不确定和大时滞对象、难以建立准确数学模型时，PID控制算法的控制品质不时很高，尤其是以误差作为基本调节项，微分作用只在系统出现明显偏差时起作用，属事后控制，故不能很好地抑制系统的超调。而灰色PID控制算法，以灰色系统理论为基础，对系统不确定部分建立灰色模型，进行灰色预估补偿，使控制系统的灰量得到一定程度的白化，可以提高PID控制质量及其鲁棒性。1、灰色预测原理信息完全明确的系统称白色系统。信息完全不明确的系统称黑色系统。信息中部分明确、部分不明确的系统称灰色系统。灰色系统的方法是对系统进行分析、建模、预测、决策、规划、控制的有效方法。灰色预测是用灰色模型(,)GMMN进行定量预测，灰色控制是指本征特性灰色系统的控制，或对系统中含灰参数的控制，或用(,)GMMN构成的预测控制。1．1灰色生成数列灰色理论对灰量、灰过程的处理，不是找概率分布求统计规律；而是用生成的方法，求得随机性弱化和规律性强化的新数列数据，称为生成数；利用生成数建模是其重要特点之一。灰色生成可分为累加生成、累减生成、初值化生成、均值化生成、归一化生成等多种。（1）累加生成(AGO-AccumulatedGeneratingOperation)对某原始数列处理，第一个数据不变，仍为新数列的第一个数据；新数列的第二个数据是原始的第一与第二个数据相加；新数列的第三个数据是原始的第一、第二与第三个相加；依此类推。这样累加生成新数列的处理方式称累加生成。累加生成能使非负数列(摆动的或非摆动的)转化为非减的递增的数列。基本公式100kixkxi111rrrxkxkxk2没有规律的原始数据，经过累加生成后，如果能够得到较强的规律，并且接近某一函数，则该函数成为生成函数。生成函数就是一中模型，称为生成模型。通过累加获得的模型称为累加生成模型。（2）累减生成（IAGO-InverseAccumulatedGeneratingOperation）累减生成是将原始数列前后两个数据相减生成数据。累减生成是累加生成的逆运算累减运算可将累加生成还原为原始数列，可在建模过程中获得增量信息。基本公式1210121rrrrrrrraxkxkaxkxkaxkxkaxkxk3换算公式01111rrrxkxkxkxkxkxk41．2GM灰色模型GreyModel一般建模是用数据列建立差分方程：灰色建模是用原始数据列做生成后建立微分方程，好处是通过数据生成方式使原始数据列弱化被噪音污染的随机性，从而发现蕴含在原始数据列中的规律。系统被噪声污染后，原始数列呈现离乱情况的数列即为灰色数列或灰色过程，对灰色过程建立的模型称为灰色模型。GMM,N 灰色模型为M阶N个变量的微分方程，不同的M与N的GM模型，有着不同的意义和用途，要求不同的数据。例如GM0,N模型不含导数，为静态模型，其形虽如多元线性回归模型，但与一般的多元线性回归模型有着本质的区别；一般的多元线性回归建模以原始数据列为基础，但GM0,N的建模基础则是原始数据列的一次累加生成(1-AGO)序列。设0ix为系统特征数据序列，01,2,3,ixiN为相关因素序列，1ix为诸01,2,3,ixin的1-AGO序列，则称11112233iNNxbxbxbxa为GM0,N的模型。2、灰色PID控制+2.1.1灰色PID控制的理论基础灰色系统理论是处理不确定量的有效途径。它需要信息少，通用性好，计算方便。采用灰色系统的方法，对于不确定部分建立灰色模型，利用它来使控制系统中的灰量得到一定程度的白化，以提高控制质量及其鲁棒性。设系统不确定部分符合匹配条件，即为,bDxt包括两部分：一部分与状态x成比例，一部分与状态无关，具体可描述为1122,nnDxtVxVxVxftVxft5式中12nVVVV612Tnxxxx7设1,2,,iVin及ft均为慢时间变量，可视iV及ft为常数。显然，如果能辨识出iV及ft，则可得出,Dxt与1x，2x，nx的关系，从而可估计出对应各状态x的不确定量,Dxt。灰色系统的研究方法之一，就是将原始数据进行处理，称为数的“生成”,其中累加生成由于它能弱化随机性，增强规律性，因而它在灰色系统建模中，具有特殊的地位。令0x为原始的离散时间函数0000(1),2,,xxxxn8若101kmxkxm9则称1xk为0xk的累加生成，记为010AGxx10按灰色系统理论，采用累加生成方法，可建立类似0,GMN模型的,Dxt灰色模型。令离散时间函数为000012DDDDN11000012ffffN1200001111000022220000121212nnnnxxxxNxxxxNxxxxN13式中，1Nn。设1D,1f,11,2,,ixin为0D,0f,01,2,,ixin的累加生成数列。将下述关系111111122,nnDxtVxVxVxf14称为不确定部分,Dxt的灰色模型。对于慢时变干扰部分，可认为1111122121fffffffNNfNf15记参数列为^^^^^12TTnVVVVf16记数据矩阵为11111111112213321nnxxxxBxNxNN17采用最小二乘法，若TBB可逆，则有^11TTTVBBBD18其中，111112TDDDDN19将累加值还原,可得（5）式得估计模型^^^^^1122nnDkVxkVxkVxkf202.1.2连续系统灰色PID控制考虑由下列N个非线性不确定子系统组成的复合非线性不确定系统：.,xAxtbutbDxt21.,/DxtxtAxtbutb22式中，nxR，uR，A为nn维矩阵，,DxtR，b为n维列向量。,bDxt代表系统满足匹配条件的不确定部分，包括参数不确定（与状态x成比例）和外干扰（与状态x无关）。1122,nnDxtVxVxVxft23不确定部分的,Dxt无法直接测量，可由测量数据间接计算估出。离散化为.1,DxkxkAxkbukb24式中，tkT，T为采样时间。灰色PID控制算法的步骤为：1第一步：采用PID控制，在控制器启动过程中，首先采用灰色估计器对不确定部分的模型参数建立0,GMN模型进行估计，其中PID控制算法为：1nppidkuutkekkekTkdek25用灰色估计器对不确定部分的模型参数建立0,GMN模型的具体算法为：1建立原始离散数列0ixk，其中1,2,,in；1,2,,kN；Nn；00001111000022220000121212nnnnxxxxNxxxxNxxxxN2计算一次累加生成1AGO数列，其中：1,2,,in；1,2,,kN；Nn；11111111111122221111121212nnnnxxxxNxxxxNxxxxN3计算数据矩阵B，其TBB必须可逆（即det0TBB）；若不可逆，则应适应增加N，直到TBB可逆。1111111112213321nnnxxxxBxNxNN4计算离散数列0Dk，1,2,,kN。000012TDDDDN5计算1AGO离散数列1Dk，1,2,,kN。100klDkDl11111,2,,TDDDDN6估计不确定部分,bDxt的灰色模型1,Dxt的参数向量^TV。111111122,nnDxtVxVxVxf^11TTTVBBBD，^^^^^12TTnVVVVf2第二步：按估计参数加上补偿控制，估计器停止工作，灰色PID控制算法为：pcuuu。其中：^^11nciiuVxf2.1.3仿真程序及实例仿真对象为：160Gs35ss将该传递函数转化为状态方程的形式：.,xAxbubDxt式中，01A=025，0b=160。对象为二阶传递函数，迭代次数可选N1n，故可取N=3。外加干扰取1122D,xtVxVxf，取干扰参数^V5,5,5，35pk，0ik，5dk。采用灰色PID控制，经过3个采样时间，得到干扰参数估计值^4.78245.00315.0363V，图1，图2，图3分别为不采用灰色预估补偿的PID控制PIDcontrol和灰色PID控制greyPIDcontrol的跟踪误差、跟踪误差、跟踪误差变化率及ut。图1跟踪误差比较曲线图2跟踪误差变化率比较曲线图3ut比较曲线3灰色PID的位置跟踪3.1.1连续系统灰色PID位置跟踪考虑单输入连续系统：.,xAxtbutbDxt26其中,nxR,uR,,DxtR式中，A为nn维矩阵，b为n维矩阵，,bDxt代表系统满足匹配条件的不确定部分，它包括参数不确定与外干扰等。1122,nnDxtVxVxVxft27取输入信号为rt，令.,TRtrtrt28控制律分为以下两个阶段。1采用PID控制进行灰色预测puut29...1,Dxkyaybub30计算离散数列向量000012TDDDDN31100klDkDl32111123TDDDDN33在N步后，即可估计出灰色模型的参数向量^TV。111111122,nnDxtVxtVxtVxtft34^11TTTVBBBD35其中，1111111112213321nnnxxxxBxNxNN36且有：det0TBB372采用灰色PID控制加入补偿控制cu，此时，pcuuu38^^1