数学建模

题目：世界人口预测模型姓名：班级：学号：二〇一三年六月十五日选修课结业论文沈阳航空航天大学世界人口预测模型摘要首先，假设人口增长率是保持不变的，从而可以建立一个指数增长模型，但实际上人口增长率是不断变化的，发现从1989年开始该地区的人口增长明显变慢，指数增长模型不能很好地预测较长时间后的人口数。于是假设人口增长率是人口数的线性减函数，即随着人口数增加，人口的增长速度会慢慢下降，从而建立了阻滞增长模型，利用此模型最后求出2010年的人口预报数为6828.8百万。与实际值较接近，但该模型也有需要改进的地方，比如：增长率还与人群的年龄结构，生育模式等一些因素有关。关键字：人口预报指数增长模型阻滞函数模型-1-一．问题的复述假定人口的增长服从这样的规律：时刻t的人口为x(t),t到t+t时间内人口的增长量与xm-x(t)成正比（其中xm为最大容量）。试建立模型并求解。作出解得的图形并与阻滞增长模型的结果进行比较，同时预测2010年世界人口总数。二．模型假设1．人口的最大容量为xm。2.人口的增长率r(x)是一个关于人口数量x的减函数。设r(x)=r-sx(r,s0)。三．模型分析针对人口增长的短期预测本文建立了Logistic人口预测模型。由于受到自然资源的制约，人口不可能无约束增长，其增长趋势一定会趋向于饱和。Logistic模型所描述的数理变化过程是一条典型的“S形曲线的变化过程，亦即所描述的变化过程是:“慢速变化--急速上升--再慢速变化”的过程。很显然Logistic模型所描述的变化过程符合人口的增长模式。同时在短期内人口的增长趋势也可以建立适当的函数进行线性拟合，为此本文应用Logistic模型对人口进行初步预测。四．符号说明mx：人口容量；r：固有增长率，即人口很少时（理论上是x=0时）的增长率；()xt：t时刻的种群数量；-2-五．模型建立Logistic模型是根据malthus人口模型改进得来的阻滞增长模型,人口增长到一定的数量增长率下降的主要原因之一是自然资源和环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用,且随着人口的增长阻滞作用变得越来越大，其主要表现在人口增长率随着人口数量的增加而降低。Logistic模型中引入常数mx（最大人口容量），用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数，r为固有增长率(x=0时的增长率)，并假设()rx为关于人口数量x的线性函数，即()rxrsx(0,0)rs（1）当x=mx时，增长率()0mrx，于是有()(1)mxrxrx（2）Logistic模型可用如下的微分方程描述:0(1),(0)mdxxrxxxxdt（3）其中rx体现了人口自身的增长趋势，因子(1)mxx体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用。对（3）式利用分离变量的方法求解得到:0()1(1)mrtmxxtxex（4）六．模型的解法与结果从世界人口中选取1980年至1999年的人数统计（如表1），并用Logistic-3-模型对其进行处理。表1：世界人口统计表（百万）年1980198119821983198419851986198719881989人口4454453046104690477048514933501851055190年1990199119921993199419951996199719981999人口5277535954425523560356825761584059195996为了求出（4）式中的r,mx,先用表1中数据算出表2的数据，在根据（3）式，利用简单的线性最小二乘法估计参数r,mx。用MATLAB软件计算得到r=3.2361%，mx=10118（百万）。（参考程序1）表2：世界人口增长率（%/年）年1980198119821983198419851986198719881989增长率1.70631.76611.73541.70581.69811.69031.72311.73371.66511.6763年1990199119921993199419951996199719981999增长率1.55391.54881.48841.44841.40991.39041.37131.35271.3009七．模型的结果分析和检验我们对t分别取值0——19，得到1980——1999年的预测值（参考程序2,3），与实际值比较，如下表3和图1:-4-表3：Logistic预测值与实际值比较年1980198119821982198419851986198719881989实际值4454453046104690477048514933501851055190预测值44544534.84615.94697.34778.84860.54942.35024.15105.95187.8相对误差（%）0.0000.1060.1280.1560.1850.1960.1890.1220.0180.042年1990199119921993199419951996199719981999实际值5277535954425523560356825761584059195996预测值5269.55351.25432.755145595.15675.95756.35836.55916.25995.5相对误差（%）0.1420.1530.1710.1630.1410.1070.0820.060.0470.008由表3可见用Logistic模型预测的误差在0.1%左右，相对误差较小，预测的精确度较高。用这个模型预测2010世界人口，得x(2010)=6828.8百万，即68.288亿。联合国人口基金会发表的《2010年世界人口状况报告》显示，2010年世界人口总数为69.09亿。相对误差为1.1%，结果非常接近。-5-八．模型的优缺点及改进方向在Logistic模型中，人口数不会爆炸性增长。当模型中出现的参数用适当方法确定后，可以利用这一模型来预测未来人口数。但，Logistic模型中未考虑r(x)和x不呈线性的情况。而且，r(x)还与人群的年龄结构，生育模式等一些因素有关。改进方法：r(x)和x不呈简单的线性关系，可以定义人口密度函数和人口分布函数去求解模型。参考文献[1]姜启源谢金星，数学模型（第三版），北京，高等教育出版社（第三版），2005[2]单锋朱丽梅，数学模型，北京，国防工业出版社，2012[3]人口增长预测模型,，2013年6月13日[4]人口预测，，2013年6月13日[5]人口模型中matlab源程序，，2013年6月14日程序程序1：x=[4454,4530,4610,4690,4770,4851,4933,5018,5105,5190,5277,5359,5442,5523,5603,5682,5761,5840,5919];y=[1.7063,1.7661,1.7354,1.7058,1.6981,1.6903,1.7231,1.7337,1.6651,1.6763,1.5539,1.5488,1.4884,1.4484,1.4099,1.3904,1.3713,1.3527,1.3009];%xmean=mean(x);ymean=mean(y);sumx2=(x-xmean)*(x-xmean)';sumxy=(y-ymean)*(x-xmean)';a=sumxy/sumx2;b=ymean-a*xmean;r=b;Xm=-b/a;运行结果：r=3.2361;Xm=10118;-6-程序2：t=0:1:19;f=10118./(1+(10118./4454-1).*exp(-0.032361.*t))运行结果：f=1.0e+03*Columns1through64.45404.53484.61594.69734.77884.8605Columns7through124.94235.02415.10595.18785.26955.3512Columns13through185.43275.51405.59515.67595.75635.8365Columns19through205.91625.9955程序3：t=1980:1:1999;x=[4454,4530,4610,4690,4770,4851,4933,5018,5105,5190,5277,5359,5442,5523,5603,5682,5761,5840,5919,5996];y=10118./(1+(10118./4454-1).*exp(-0.032361.*(t-1980)));plot(t,x,'k-',t,y,'b.-')legend('原数据','预测数据')