2014理科数学全国2卷

绝密★启用前6月17日15：00—17：002014年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共12小题。每小题5分,在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设集合M={0，1，2}，集合N={x|x2-3x+20},则M∩N=A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}（2）设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=A．-5B．5C．-4+iD．-4-i(3)设向量a,b满足|a+b|=10,|a-b|=6,则a·b=A．1B．2C．3D．5(4)锐角三角形ABC的面积是12,AB=1,BC=2,则AC=A．5B．5C．2D．1(5)某地区空气资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45(6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉的体积与原来毛坯体积的比值为A．1727B．59C．1027D．13(7)执行右面的程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S=A．4B．5C．6D．7(8)设曲线y=ax-ln(x+1)在点（0，0）处的切线方程为y=2x,则a=A．0B．1C．2D．3否输入x,t开始M=1,S=3k≤t结束MMxk输出S,S=M+Sk=k+1是k=1（6）题图(9)设x,y满足约束条件70310350xyxyxy,则z=2x-y的最大值为A．10B．8C．3D．2(10)设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为A．334B．938C．6332D．94（11）直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为A．110B．45C．31010D．22(12)设函数f(x)=3sinxm,若存在f(x)的极值点x0满足2220[()]xfxm,则m的取值范围是A．（-∞,-6）∪(6,+∞)B．（-∞,-4）∪(4,+∞)C．（-∞,-2）∪(2,+∞)D．（-∞,-2）∪(2,+∞)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必修作答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。(13)(x+a)10的展开式中，x7的系数为15,则a=(用数字作答)(14)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为(15)已知偶函数f(x)在[0,)上单调递减，f(2)=0,若f(x-1)0,则x的取值范围是(16)设点M（x0,1）,若圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(17)（本小题满分12分）已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.(I)证明{an+12}是等比数列，并求{an}的通项公式。(II)证明123111132naaaa(18)（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点。(I)证明：PB∥平面AEC。(II)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=3,求三棱锥E-ACD的体积。（19）（本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯y（单位：千克）的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(I)求y关于t的线性回归方程。(II)利用(I)中的回方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入。附：回归直线的低斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：121()(),()niiiniittyybaybttt(19)（本小题满分12分）设F1，F2分别是椭圆C：22221(0)xyabab的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个焦点交为N。PBCDEA(I)若直线MN的斜率为34，求C的离心率。(II)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|,求a,b.(21)（本小题满分12分）已知函数f(x)=2xxeex(I)讨论f(x)的单调性。(II)设g(x)=f(2x)-4bf(x).当x0时，g(x)0,求b的最大值。(III)已知1.414221.4143,估计ln2的近似值。（精确到0.001）请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。(22)（本小题满分10分）如图，P是⊙O处一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E。证明：(I)BE=EC(II)ADDE=2PB2(23)（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正关轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos,[0,]2(I)求曲线C的参数方程。(II)设点D在C上，C在D处的切线与直线l:32yx垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D点的坐标。(24)（本小题满分10分）设函数f(x)=|x+1a|+|x-a|(a0)(I)证明f(x)≥2.(II)若f(3)5,求a的取值范围。参考答案附后DBOPACE参考答案一、选择题1.解析D把M=｛0,1,2}中的数,代入不等式,023-2≤+xx经检验x=1,2满足。所以选D.2.解析A1122122,-2,-1-4-5,.zizzzizzA与关于虚轴对称，故选3.解析A.,1,62-102∴,6|-|,10||2222Abababababababa故选联立方程解得，，==+=++==+4.解析B..5,cos2-43π∴ΔABC4π.43π,4π∴,22sin∴21sin1221sin21222ΔABCBbBaccabBBBBBBacS故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======•••==5.解析A.,8.0,75.06.0,Appp故选解得则据题有优良的概率为则随后一个空气质量也设某天空气质量优良，=•=6.解析C..2710π54π34-π54π.342π944.2342π.546π96321Cvv故选积之比削掉部分的体积与原体体积，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部体积，，高加工前的零件半径为==∴=•+•=∴=•=∴π7.解析D2,2,131252273.xtMSKD变量变化情况如下：故选8.解析D..3.2)0(,0)0(.11-)(),1ln(-)(Daffxaxfxaxxf故选联立解得且==′=∴+=′∴+=9.解析B..8,)2,5(07-013--2Bzyxyxyxz故选取得最大值处的交点与在两条直线可知目标函数三角形，经比较斜率，画出区域，可知区域为==+=+=10.解析D..49)(4321.6),3-2(23),32(233-4322,343222,2ΔOABDnmSnmnmnnmmnBFmAFBA故选，解得直角三角形知识可得，，则由抛物线的定义和，分别在第一和第四象限、设点=+••=∴=+∴=+=•=+•===11.解析C..10305641-0||||θcos2-1-,0(2-1,1-(∴).0,1,0(),0,1,1(),2,0,2(),2,2,0(,2,,111111CANBMANBMANBMNMBACCBCACZYXCCACBC故选）。，），，则轴，建立坐标系。令为，，如图，分别以=+=••======12.解析Czyx222ABCA1C1B1.2.||,34∴34)]([,2||||,3)]([3πsin3)(2222020020Cmmmmxfxmxxfmxxf故选解得，，即的极值为++≥+∴≤=±=二.填空题13.解析.21.21,15a∴15xax3310737310====aaCC故14.解析.1∴.1≤sinφsin)φcos(-φcos)φsin()φcos(φsin2-φsin)φcos(φcos)φsin()φcos(φsin2-)φ2sin()(最大值为xxxxxxxxxf=•+•+=+•++•+=++=15.解析()[0,)(2)0()0||2.(-1)0|-1|2(-1,3.|-1|2(-1,3.yfxffxxfxxxxxx偶函数在上单增，且可得的解集为于是的解集为，解得）故解集为，解得）16.解析].1,1-[∈x].1,1-[x.,1)M(x1,yO000故形外角知识，可得由圆的切线相等及三角在直线上其中和直线在坐标系中画出圆∈=三.解答题：17.解析：（1）的等比数列。公比为是首项为3,2321}21{∴).21(3211321a∴.*N∈.n13,111n11=+++=++=++==++aaaaaaannnnn(2)（证毕），所以，）（时，当，知，由.*∈231111.2331-12331-131-131313111111∴.311-3211,11.1-32121-3∴,2321)1(3211-213211-1Nnaaaaaaaaanaaaannnnnnnnnnnnnn++++==++++++++=====+18.解析（1）连结BD交AC于点O，连结EO。因为ABCD为矩形，所O为BD中点。又E为PD中点，所以EO∥PB.EO平面AEC，PB平面AEC,所以PB∥平面AEC.（2）设CD=m,分别以AD,AB,AP为X,Y,Z轴建立坐标系，则。的体积为所以，三棱锥的高即为三棱锥面且的中点，则为设解得解得一个则法向量为同理设平面解得一个则法向量为设平面83-.8321323213131∴.-,⊥,212,//.23,21333|||||||,cos|3πcos).3-,3-,(,0,0),,,().0,1,0(,0,0),,,().0,,3(),21,0,23(),0,0,3(∴).0,,3(),21,0,23(),0,0,3(),0,0,0(Δ-2222222222222221111111ACDEEFSVACDEACDEFEFPAEFPAADFmmmnnnnnnmmnAEnACnzyxnACEnAEnADnzyxnADEmACAEADmCEDAACDACDE=••••=••=====++=••=============19.解析：（1）.3.25.03.24*21-3.4-,212*14142*)149(8.48.15.007.0214*3,3.479.52.58.44.46.33.39.2,47721+======++++++++=+==++++++==+++=tytytbyababtyyt的回归方程为关于所以，代入公式，经计算得设回归方程为百元左右。千年，该区人均纯收入约所以，预计到千元）该区人均纯收入年，增长，预计到年该区人均纯收入稳步年至862