正余弦定理与解三角形

正余弦定理与解三角形（一）---------解三角形中的元素【学习目标】1.理解两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导及联系，2.运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角恒等变换．【自主先学】1、在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为32，则C＝________.60°2、设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则角A的大小为________.π23、已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为________.34、在△ABC中，a＝3，b＝6，A＝2π3，则B＝________.π45、设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－14，3sinA＝2sinB，则c＝________.4【质疑拓展】：题型1判断三角形的形状【例1】►ABC△的内角ABC、、的对边分别为abc、、，根据下列条件判断三角形形状：（1）()()3abcbcabc，且sin2sincosABC，则ABC△的形状是________三角形．（2）2222()sin()()sin()abABabAB，则ABC△的形状是________三角形．（3）a2b2＝tanAtanB，则△ABC的形状为________________三角形．[答案]等腰或直角题型2【例2】►在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2－b2－c2＋3bc＝0，2bsinA＝a，BC边上中线AM的长为14.(1)求角A和角B的大小；(2)求△ABC的面积.解(1)由a2－b2－c2＋3bc＝0，得b2＋c2－a2＝3bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝32，∴A＝π6，由2bsinA＝a，得b＝a，∴B＝A＝π6.(2)设AC＝BC＝x，由余弦定理，得AM2＝x2＋x24－2x·x2·－12＝(14)2，解得x＝22，故S△ABC＝12×22×22×32＝23.题型3【例3】►【变式训练】【反思小结】：【检测反馈】：1.在△ABC中，已知a＝3，b＝6，A＝2π3，则B＝________.[答案]π42.在△ABC中，已知a＝3，b＝2，B＝45°，则角A＝________.[答案]60°或120°3．在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为32，则C＝________.[答案]60°4.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为________.[答案]35.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－14，3sinA＝2sinB，则c＝________.[答案]46.在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若tanA＝7tanB，a2－b2c＝3，则c＝________.[答案]41.在△ABC中，若a＝23，b＝6，A＝45°，则∠C＝________.答案105°解析在△ABC中，由正弦定理得sinB＝bsinAa＝6×2223＝12，因为b＜a，所以B＜A，所以B＝30°，C＝180°－A－B＝105°.2.在ABC中,若9cos24cos25AB，则BCAC的值为．答案：233.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，acosB=5，bsinA＝12，则a=________.解析：由正弦定理asinB=bsinA＝12，①（asinB）2+（acosB）2=a2=169，所以a=13.3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠C＝60°，且a＋b＝5，c＝7，则△ABC的面积为．[答案]3234.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－bc－a＝sinAsinC＋sinB，则B＝________.答案π35.在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝3，则AB＝________.答案：1解析∵A＝60°，AC＝2，BC＝3，设AB＝x，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，化简得x2－2x＋1＝0，∴x＝1，即AB＝1.6.在△ABC中，B＝π4，BC边上的高等于13BC，则cosA＝________.解析设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B＝π4，BD＝13BC，DC＝23BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tanA＝1＋21－1×2＝－3，所以cosA＝－1010.答案－1010如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角45CAD，则这两座建筑物AB和CD的底部之间的距离BDm．【答案】187.设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足3coscos5aBbAc，求tantanAB的值．答案:47.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，已知∠B＝60°，AD＝2，AC＝10，DC＝2，那么AB＝________.[答案]2638.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2－b2－c2＋3bc＝0，2bsinA＝a，BC边上中线AM的长为14.DCBA（第10题图）(1)求角A和角B的大小；(2)求△ABC的面积.[答案](1)B＝A＝π6；(2)S△ABC＝12×22×22×32＝23.8.正余弦定理与解三角形（二）-----三角形中的不等关系【自主先学】1.在钝角△ABC中，a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围________．[答案]5c32.在锐角ABC中，若2CB，则ABAC的取值范围为.答案：2,34.若ABC的内角满足sinsin2sinABC，则角C的最大值是.解析：由sinsin2sinABC可得：2abc，2abc2222222222331331212442442cos=22222abababababababcCabababab∵cosC在0，递减，∴03C答案：35.若一个钝角三角形的三个内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m，则实数m的取值范围是________．答案：(2，＋∞)解析设A为钝角，C为最小角，则A＋C＝120°，C∈(0°，30°)，由正弦定理得m＝ac＝sinAsinC＝sin120°－CsinC＝32tanC＋12.而0＜tanC＜33，∴1tanC＞3，则m＞2.【质疑拓展】：题型1正余弦定理与不等式结合，转化为“解不等式组”【例1】►设ABC的内角,,ABC所对的边为,,abc，若sin,sin,sinABC成等比数列，则ba的取值范围是______________.思路：由sin,sin,sinABC成等比数列可得：2sinsinsinBAC，也可视为2bac，所求表达式ba也可视为sinsinBA，如果从角入手，则22sinsinsinsinsinsinBACBAAB无法与sinsinBA联系,所以考虑从边入手.解析：由sin,sin,sinABC成等比数列得2sinsinsinBAC，即2bac不妨设(0)bcqqab，则,bacbqq，由,,abc能构成三角形得bbbqqbbbqqbbqbq（布列含q的不等式组，同时“减元”）解之得：515122q.答案：5151,22说明：（1）也可以特殊化，如设11,,bacqq；（2）上述不等式组中，第三个恒成立，可省略，想一想，为什么？变题1：设ABC内角A，B，C所对的边a，b，c，若sin,sin,sinABC成等比数列，，则abba的取值范围是________．答案：2,5变题2：已知ABC中，sin,sin,sinABC成等比数列，则sin2sincosBBB的取值范围是________．答案：20,2题型2正余弦定理与基本不等式结合，转化为利用基本不等式求“范围或最值”【例2】►（1）已知ABC中，sin,sin,sinABC成等比数列，则B的取值范围是________．答案：0,3解析：由sin,sin,sinABC成等比数列得2sinsinsinBAC，即2bac由余弦定理得2222221cos2222acbacacacacBacacac（当且仅当a=c时，“=”成立）又因为(0,)B，所以0,3B.（2）若△ABC的内角满足sinA＋2sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________.思路：所求cosC的最值可想到余弦定理用边进行表示，222cos2abcCab，考虑sin2sin2sinABC角化边得到：22abc，进而消去c计算表达式的最值即可解析∵sinA＋2sinB＝2sinC.由正弦定理可得a＋2b＝2c，即c＝a＋2b2，cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－a＋2b222ab＝3a2＋2b2－22ab8ab≥26ab－22ab8ab＝6－24，当且仅当3a2＝2b2即ab＝23时等号成立.∴cosC的最小值为6－24.答案6－24题型3正余弦定理与三角变换结合，转化为利用三角函数求“范围或最值”【例2】►设锐角三角形ABC的内角,,ABC的对边分别为,,,2sinabcabA.（1）求B的大小；（2）求cossinAC的取值范围．解：（1）由2sinabA，根据正弦定理得sin2sinsinABA，所以1sin2B，由ABC△为锐角三角形得π6B．（2）cossincossinACAAcossin6AA13coscossin22AAA3sin3A．由ABC△为锐角三角形知，02020523205626AACAAAC故2536A，所以13sin()232A．333sin3232A所以cossinAC的取值范围为3322，．点评：要注意对“锐角三角形”条件的运用，注意转化中的“等价性”，即三个角均为锐角，进一步的将C用A代换，其目的是确定出“目标角A”的范围.C满足锐角的条件也由A来承担，这也是在利用等式消元时所要注意的一点：若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担.变题1：在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知sin3cosacCA（1）求A的大小（2）若6a，求bc的取值范围解：（1）由条件sin3cosacCA可考虑使用正弦定理，将分子进行“边化角”sinsin1sinsin3cos3cosacACCCAAtan3A3A（2）思路：考虑在ABC中，已经已知,Aa，从而可求出外接圆半径R，进而,BC与,bc也可进行边角互化。若从边的角度考虑，则能够使用的不等关系只有“两边之和大于第三边”，但不易利用60A这个条件，考虑利用角来解决解：43sinsinsinbcaBCA43sin,bB43sincC3A2233BCCB243sinsin43sinsin3bcBCBB313143sincossin12sincos12sin22226BBBBBB203B51,,sin,166662BB6,12bc变题2：在锐角ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且2cos2bCac（1）求角B（2）求sinsinAC的取值范围解：（1）方法一