华罗庚金杯2017初一试题

第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（初中一年级组）一、填空题（每小题10分，共80分）1.数轴上10个点所表示的数分别为1210,,...,aaa，且当i为奇数时，12iiaa，当i为偶数时，11iiaa，那么106aa．2.如右图，△ABC，△AEF和△BDF均为正三角形，且△ABC，△AEF的边长分别为3和4，则线段DF长度的最大值等于3.如下的代数和1201622015...(1)(20161)...10101007mm的个位数字是，其中m是正整数.4.已知20152016x.设[]x表示不大于x的最大整数，定义{}[]xxx.如果{}[]xx是整数，则满足条件的所有x的和等于.5.设x，y，z是自然数，则满足22236xyzxy的x，y，z有组6.设311,,,pqpqqp都是正整数，则22pq的最大值等于.7.右图是A，B，C，D，E五个防区和连接这些防区的10条公路的示意图.已知每一个防区驻有一支部队.现在这五支部队都要换防，且换防时，每一支部队只能经过一条公路，换防后每一个防区仍然只驻有一支部队，则共有种不同的换防方式.8.下面两串单项式各有个单项式(1)2457832316046604760496050,,,...,,...,,nnxyxyxyxyxyxy;(2)23781213535210077100781008210083,,,...,,...,,mmxyxyxyxyxyxy，其中n，m为正整数，则这两串单项式中共有对同类项.二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9.是否存在长方体，其十二条棱的长度之和、体积、表面积的数值均相等？如果存在，请给出一个例子;如果不存在，请说明理由.10.如右图，已知正方形ABDF的边长为6厘米，△EBC的面积为6平方厘米，点C在线段FD的延长线上，点E为线段BD和线段AC的交点.求线段DC的长度.11.如右图，先将一个菱形纸片沿对角线AC折叠，使顶点B和D重合.再沿过A，B(D)和C其中一点的直线剪开折叠后的纸片，然后将纸片展开.这些纸片中菱形最多有几个?请说明理由.12.证明:任意个整数中，至少有两个整数的平方差是的倍数.三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13.直线a平行于直线b，a上有个点1210,,...AAA，b上有个点1211,,...,BBB，用线段连接iA和jB(i=,,，j=,,)，所得到的图形中一条边在a上或者在b上的三角形有多少个？14.已知关于x，y的方程222017xyk有且只有六组正整数解，且xy,求k的最大值.