西财高等代数期末模拟题(二)

《线性代数》第1页共8页光华园光华园学习网专业学号姓名成绩(分)试题全文一、填空题（请将正确答案直接填在横线上。每小题2分，共20分）：1.排列36125784的逆序数是，是排列。2．311252,______232xx若则。3．线性方程组ndxcxmbxax2121的系数满足时，方程组有唯一解。4.111________11A设，则。5.向量)1,2,2,3()4,2,2,1(，，则α+β=_______。6．单独一个零向量必线性_________。7．设A是一个n阶方阵，则A非奇异的充分必要条件是R（A）=________。8．设AX=O是有5个方程，6个未知数的齐次线性方程组，其系数矩阵A的秩为2，则方程组AX=O有__________组解，其基础解系含_________个解向量。9．设21XX，是非齐次线性方程组AX=B的两个解，则21XX是方程组__的解，21XX是方程组______的解。10．若λ为可逆矩阵A的特征值，则1A的特征值为。二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在括号内。每小题2分，共10分）：1.设行列式121213101223,010,,31510DDDD若则的取值为()。①0,1②0,2③1,−1④2,−12.设A,B为n阶方阵，A≠O,且AB=O,则()。①BA=O②(A−B)2=A2+B2《线性代数》第2页共8页③B=O④∣B∣=0或∣A∣=03.设A为n阶方阵，那么TAA是（）。①对称矩阵②反对称矩阵③可逆矩阵④不可逆矩阵4.设P为m阶非奇异矩阵，Q为n阶非奇异矩阵，A为m×n阶矩阵，则（）。①R(PA)=R(A)，R(AQ)≠R(A)②R(PA)=R(A)，R(AQ)=R(A)③R(PA)≠R(A)，R(AQ)=R(A)④R(PA)≠R(A)，R(AQ)≠R(A)5.三阶方阵A的特征值为1,1,2且B=A35A2,则B的特征值为()。①2,4②1,4,6③1,4,6④4,6,12三、计算题(每小题8分，共64分)：1.计算4阶行列式100010010001aaaaD。2.设矩阵TABCCBA)(,2412,435214,240031求。3.设，5800023000003000004300021A.利用分块矩阵求1A。4.求向量组1113420112404321，，，的极大线性无关组和秩，并将其余向量表示成极大线性无关组的线性组合。5．《线性代数》第3页共8页6.设1231100,1,1101为R3的一组基,将其化为标准正交基。7.求解方程组0895443313432143214321xxxxxxxxxxxx的通解。8.设100010021A，求A的特征值及对应的特征向量。四、证明题（6分）:设向量组123,,,线性无关，证明：向量组122331,,线性无关.《线性代数》课程考试题参考解答一、填空题（请将正确答案直接填在横线上。每小题2分，共20分）：1.排列36125784的逆序数是5，是奇排列。2．311252,___4___232xx若则。3．线性方程组ndxcxmbxax2121的系数满足____adbc______时，方程组有唯一解.4.111________11A设，则。112211225.向量)1,2,2,3()4,2,2,1(，，则α+β=____(4,4,0,5)___。《线性代数》第4页共8页6．单独一个零向量必线性___相关_______。7．设A是一个n阶方阵，则A非奇异的充分必要条件是R（A）=____n______。8．设AX=O是有5个方程，6个未知数的齐次线性方程组，其系数矩阵A的秩为2，则方程组AX=O有___无穷多_______组解，其基础解系含____4______个解向量。9．设21XX，是非齐次线性方程组AX=B的两个解，则21XX是方程组__AX=O__的解，21XX是方程组___AX=B_____的解。10．若λ为可逆矩阵A的特征值，则1A的特征值为1/λ。二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在括号内。每小题2分，共10分）：1.设行列式121213101223,010,,31510DDDD若则的取值为(③)。①0,1②0,2③1,−1④2,−12.设A,B为n阶方阵，A≠O,且AB=O,则(④)。①BA=O②(A−B)2=A2+B2③B=O④∣B∣=0或∣A∣=03.设A为n阶方阵，那么TAA是（①）。①对称矩阵②反对称矩阵③可逆矩阵④不可逆矩阵4.设P为m阶非奇异矩阵，Q为n阶非奇异矩阵，A为m×n阶矩阵，则（②）。①R(PA)=R(A)，R(AQ)≠R(A)②R(PA)=R(A)，R(AQ)=R(A)③R(PA)≠R(A)，R(AQ)=R(A)④R(PA)≠R(A)，R(AQ)≠R(A)5.三阶方阵A的特征值为1,1,2且B=A35A2,则B的特征值为(④)。①2,4②1,4,6③1,4,6④4,6,12三、计算题(每小题8分，共64分)：1.计算4阶行列式100010010001aaaaD。《线性代数》第5页共8页解：22221001000010110101[(1)](1)01000110001aaaaDaaaaaaaaaaa2.设矩阵TABCCBA)(,2412,435214,240031求。解：411302121421602625042421428421404234ABC422614060)(TABC3.设，5800023000003000004300021A.利用分块矩阵求1A。解：令A＝DOOOCOOOB,其中B＝4321,C=(3),D=58231A=111DOOOCOOOB=38000250000000000000123121234.求向量组1113420112404321，，，的极大线性无关组和秩，并将其余向量表示成极大线性无关组的线性组合。解：4321=130214141210通过初等变换为00001210212301所以这个向量组的极大线性无关组为1，2且3=231—22，4=211—2《线性代数》第6页共8页5．6.设1231100,1,1101为R3的一组基,将其化为标准正交基。解：(1)利用施密持正交化方法将其正交化21112211131323312112211111/210,10121011/2011/22/311/21002/323/2111/22/3,TTTTTT即23,是的正交向量组.(2)将123,,标准化11122233322,6/2,3,3TTT3121231231/61/31/20,2/6,1/31/21/61/37.求解方程组0895443313432143214321xxxxxxxxxxxx的通解。解：《线性代数》第7页共8页113111131111311()313440467104671159800467100000335101131124437137101012442440000000000AB312412122011220333751,,2244443337(10),[phone](00)44TTTXXXXCXCXX1线性方程组的基础解系为线性方程组的特解为故线性方程组的通解为其中C1,C2是任意常数。8.设100010021A，求A的特征值及对应的特征向量。3100010(1)0021EA特征值λ1＝λ2＝λ3＝1.对于λ1＝1，1000000020EA，特征向量为100001kl四、证明题（6分）:设向量组123,,,线性无关，证明：向量组122331,,线性无关.《线性代数》第8页共8页112223331131122233131231223123122331()()()0()()()00001011100011.kkkkkkkkkkkkkkkkkk设，即因为，，线性无关，则所以＝2，即，，有唯一零解故，，线性无关