最佳平方逼近

()[,]()0[,]()wxCabwxxabwx，，称为权函数。[,](),[,]CabwxfgCab连续函数空间，给定权函数对于最佳平方逼近多项式()[,],()fxCabnpx给定函数求次数不超过的多项式，使得2()(()())minbawxfxpxdxp(x)称为函数f(x)的最佳平方逼近n次多项式其中w(x)为权函数，默认值为w(x)=1考虑空间C[a,b],是一个线性空间，其维数是无限维的。次数不超过n的多项式构成C[a,b]的n+1维子空间。可以利用有限维子空间上的逼近定理来研究最佳平方逼近问题。(,)()()()bafgwxfxgxdx定义内积：容易验证满足内积定义的4条性质连续函数的内积2()||||(,)()()bafxfffwxfxdx由此导出的函数的范数：()()fxgx两个函数与的距离2(,)||||(,)()()()badistfgfgfgfgwxfxgxdx()()(,)()()()0bafxgxfgwxfxgxdx函数和正交,[,]nCabn设次数不超过的多项式空间为显然是的一个子空间，011,,...,,()...()nnnnnxxpxaaxaxfxn的基为则，是在的最佳逼近元的充分必要条件为(,1)0,(,)0,...,(,)0nfpfpxfpx01(,1)()()(...)10bnnafpwxfxaaxaxdx01(,)()()(...)0bnnafpxwxfxaaxaxxdx01.....................(,)()()(...)0bnnnnafpxwxfxaaxaxxdx这些方程称为法方程01()11()1...()1()()1bbbnnaaabaawxdxawxxdxawxxdxwxfxdx01(1,1)(,1)...(,1)(,1)nnaaxaxf01(1,)(,)...(,)(,)nnaxaxxaxxfx01(1,)(,)...(,)(,)nnnnnnaxaxxaxxfx01...naaa求解法方程组，得到，，，01()()...nnfxnpxaaxax从而，的最佳平方逼近次多项式为()xfxe例题：求在[0,2]的最佳平方逼近一次多项式。1,,()1xwx解：取一次多项式空间的基为权函数20(1,1)112,dx20(1,)12,xxdx208(,),3xxxxdx220(,1)11xxeedxe220(,)1xxexexdxe2012012218213aaeaae法方程组为a0=0.1945,a1=3.0000最佳平方逼近一次多项式为0.1945+3.0000x00.20.40.60.811.21.41.61.82012345678()sin()fxx例题：求在[0,1]的最佳平方逼近二次多项式。21,,()1xxwx解：取二次多项式空间的基为,权函数11001(1,1)111,(1,)12dxxxdx11220011(1,)1,(,)33xxdxxxxxdx112222220011(,),(,)45xxxxdxxxxxdx102(1,sin())1sin()xxdx101(,sin())sin(),xxxxdx2122302(,sin())sin(),xxxxdx231120122311110122342111012345aaaaaaaaa法方程组为所以，最佳平方逼近二次多项式为p(x)=1.8846-7.4880x+7.4880x2a0=1.8846,a1=7.4880x,a2=7.488000.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.20.40.60.811.21.41.61.8220,,abdx2例题：求使得(a+bx-sinx)达到最小。2[0,]解：实际上求sinx在区间的最佳平方逼近一次多项式。1,,()1xwx取二次多项式空间的基为权函数2222800(1,1)11,(1,)1dxxxdx32240(,)xxxxdx20(1,sin)1sin1xxdx20(,sin)sin1,xxxxdx2232882411abab法方程组为a=0.1148,b=0.6644,这时，所求积分取最小值。00.511.500.20.40.60.811.21.4最佳平方逼近问题的一般提法2()[,],[,][,](),()(()())minbafxCabSCabCabgxSwxfxpxdx给定函数是中的有限维子空间，求使得1(),....()mSxx首先要找子空间的基1(),....()mxx要满足两条：11(),....()mxx（）在给定区间[a,b]线性无关：1(),....()Smxx（2）的个数等于的维数函数在给定区间线性无关的定义1111....()....()0(),....()mmmmcccxcxxx若存在不全为零的，，，使得在区间[a,b]称线性相关，111()....()0...0mmmcxcxcc否则，就线性无关。区间[a,b]上成立就一定有1(),....()mxxSg假定是子空间的基，若函数是最佳逼近元，则12(,())0,(,())0(,())0mfgxfgxfgx....,11()().....(),mmgxaxax可设则111((().....()),())0mmfaxaxx112((().....()),())0mmfaxaxx11..........((().....()),())0mmmfaxaxx这些方程称为法方程1121111122222212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)mmmmmmmmafafaf简记为Ax=b.....maa求解这个方程，就能得到，，，11()()().....()mmfxSgxaxax从而得到在子空间中的最佳平方逼近元112111222212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)mmmmmmA1().....()mxxGram称为函数，，的矩阵，A显然是对称矩阵。1().....()mxxGram若，，线性无关，则它们的矩阵正定。正规方程组一般为病态方程组，当维数较高时，病态严重，求解困难。可以采取选择不同的基的方式，来改变正规方程组的性态。我们考虑最佳平方逼近多项式，采用正交多项式做基函数。