第三章-随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布第一节二维随机变量第二节边缘分布第三节条件分布第四节相互独立的随机变量第五节两个随机变量的函数的分布二维随机变量：§1二维随机变量[注]二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X和Y有关,且还依赖于两者的相互关系.设E是一个随机试验,样本空间S={e}.设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的两个随机变量,向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量.n维随机变量：设随机试验E的样本空间S={e}.X1,X2,…,Xn是定义在S上的n个随机变量,则称向量(X1,X2,…,Xn)为n维随机变量（向量）.设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,称F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函数.},{ˆ)}(){(),(yYxXPyYxXPyxFxyO(x,y)),(),(),(),(},{211112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxPxOx1y2x2y1y分布函数(联合分布函数)定义1)F(x,y)是变量x和y的不减函数,即对任意固定的y,当x2x1时,有F(x2,y)F(x1,y);对任意固定的x,当y2y1时,有F(x,y2)F(x,y1).2)0F(x,y)1,且F(-,y)=0,F(x,-)=0,F(-,-)=0,F(+,+)=1.3)F(x,y)关于x右连续,关于y右连续,4)对于任意x1x2,y1y2,有F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2)0分布函数F(x,y)的性质:二维离散(X,Y)的分布律(联合分布律):(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),i,j=1,2…,),2,1,(,ˆ},{jipyYxXPijji21jyyy212222111211ijiijjppppppppp21ixxxYX二维离散型随机变量(X,Y)的所有可能取值是有限对或可列无限多对..1211jiijp,101ijp满足yyxxijjipyxF),(分布函数12341234YX25/4813/487/481/161/41/41/41/41例1设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,另一随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值.试求(X,Y)的分布律.),4,3,2,1(411}{}{},{ijiiiXPiXjYPjYiXP1/40001/81/8001/121/121/1201/161/161/161/16返回解:X=i,i=1,2,3,4,Y=j,ji.例２某产品８件,其中有２件次品.每次从中抽取一件,不放回，抽取两次,分别以X、Y表示第一、二次取到的次品件数,试求(X,Y)的分布律．2812862862815}{}{}{ij|XYPiXPji,YXP(X,Y)的所有取值为(i,j),i,j=0,1由乘法公式有解XY0101二维连续型随机变量定义设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),若存在一个非负函数f(x,y)，使得对任意x,y，有则称(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)称为(X,Y)的概率密度，或称为X和Y的联合概率密度．(,)(,)yxFxyfuvdudv性质,0),(1yxf,1),(2dxdyyxf.),(,),(F),(32的连续点在yxfyxyxyxf是一平面区域。GdxdyyxfGYXPG,),(}),{(4例3设二维随机变量(X,Y)的概率密度为(1)确定常数C;(2)求概率P{X+Y1};(3)求F(x,y)．.,10,0,),(其它yxCxyyxf1解(1)}10,0),{(yyxyxDdxdyyxf),(1Ddxdyyxf),(8101CCxydydxx8CD21018xxxydydx}1{(2)YXP1),(yxdxdyyxfx+y=1x+y1Oxy61当xy,0y1时，1(3)xydvduvufyxF),(),(当x0或y0时,F(x,y)=04008yuvdudvyv当xy1,0x1时，422028xyxuvdvduxyuv=u10uv),(yxF(x,y)(x,y)(x,y)(x,y)),(yxF(x,y)当y1,0x1时，xuuvdvduyxF018),(422xx当x1,y1时，1),(yxF(x,y)当xy,0y1时，(3)xydvduvufyxF),(),(0,当x0或y0时,4y当xy1,0x1时，4222xyx当y1,0x1时，422xx1,当x1,y1时，F(x,y)=例4设二维随机变量具有概率密度求(１)分布函数F(x,y)；（２）P{XY}解.,0,0,0,2),()2(其它yxeyxfyx(x,y)xyO其它其它,00,0,)1)(1(,00,0,2e),(),(200v)(2u-yxeeyxdudvdudvvufyxFyxyxyxyGdxdyyxfGYXPXYP),(}),{(}{(2)设}),{(}{GYXXY0)2()1(2yyxdxedy00)2()2(2dyedxxyx31xO设E是一随机试验，S是其样本空间，X1,X2,...Xn是定义S在上的n个随机变量，则称n维向量(X1,X2,...Xn)为定义在S上的n维随机向量或n维随机变量．},,{),,,(221121nnnxXxXxXPxxxF概念的推广：称为n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数．对个任意实数x1,x2,…xn，令类似可以定义离散型及连续型n维随机变量的分布律及概率密度，它们都具有类似于二维时的性质．[注]边缘分布函数可以由X与Y的联合分布函F(x,y)唯一确定:定义1设(X,Y)为二维随机变量，其分布函为F(x,y)()(,)()YFyPXYyF,y()(,)()XFxPXxYFx,§2边缘分布一、边缘分布函数}{)(xXPxFX}{)(yYPyFY(X,Y)关于X的边缘分布函数(X,Y)关于Y的边缘分布函数若(X,Y)分布律为),2,1,(,},{jipyYxXPijji),2,1(ˆ1ippjiji),2,1(ˆ1jppiijj.1,111ijiipp,10,10jipp二、离散型随机变量的边缘分布律(X,Y)关于X的边缘分布律(X,Y)关于Y的边缘分布律},{1jijyYxXP1jijp}{ixYP},{1jiiyYxXP1iijp}{ixXP212222111111ijiijjppppppppp21jyyyixxx21ippp2121jppp1XYipjp例1离散型随机变量的边缘分布律列表,),()()(dxdyyxfx,FxFxXxdyyxfxfX,),()(ydxyxfyfY,),()(三、连续型随机变量的边缘概率密度设(X,Y)概率密度为f(x,y)，则由此知，X是连续型随机变量，且其概率密度为同理，Y也是连续型随机变量，其概率密度为分别称为(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度．x均匀分布：设G为一面积为A平面有界区域，若(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在域G上服从均匀分布．二维常见分布.,),(,0,1),(其它GyxAyxf例2设(X,Y)在域G:x2+y2r2,y0上服从均匀分布，求其边缘概率密度.二维正态分布设二维随机变量(X,Y)具有概率密度22112222212121221212121()()()()()(,),xxyyfxyexy其中是常数，且，则称(X,Y)服从参数为的，记为,,,,21211,0,021),,,,(~),(222121NYX二维正态分布图二维正态分布剖面图yeyfyY,21)(22222)(2xexfxX,21)(21212)(1即X和Y的边缘分布均为正态分布:),(~Y),,(~X222211NN解),,,,(~),(222121NYX例３设,求(X,Y)的边缘概率密度.定义1设(X,Y)是二维随机变量，其分布律为对固定i,若,2,1}{ippyYxXPjijji,},{ijjipyYxXP§4.3条件分布,2,1,}{ijppxXyYPiijj对固定j,若-------在条件X=xi下,随机变量Y的条件分布律．0jp0ip------在条件Y=yj下,随机变量X的条件分布律.离散型随机变量的条件分布例1将两封信随机往编号为1,2,3的三个信箱内投.以X表示第一个信箱内信的数目，Y表示第二个信箱内信的数目，求X和Y的联合分布律及条件分布律．012YX条件分布律用表格表示:1/92/91/92/92/901/9000124/94/91/94/94/91/9012i1/41/21/41/21/20100P{X=i|Y=0}P{X=i|Y=1}P{X=i|Y=2}同理可求P{Y=j|X=i}i,j=0,1,2解据题意(X,Y)的所有可能取值为(i,j),i,j=0,1,2定义２给定y，设对于任意的0，若对于任意实数x，极限存在，则称此极限值为在条件Y=y下随机变量X的条件分布函数,记为}Y|P{Xyx)|(FY|Xyx0limP{|Y}XxyyP{Y}0yy或类似可定义.)|(FX|YxyX|Y(|)Fxy0limP{|}YyxXx连续型随机变量的条件分布定义2设(X,Y)的概率密度f(x,y),(X,Y)关于Y的边缘概率密度为fY(y).若对固定的y,fy(y)0,则称)(),(ˆ)|(|xfyxfxyfXXY)(),(ˆ)|(|yfyxfyxfYYX推导连续型随机变量的条件分布为在X=x,的条件下Y的条件概率密度.)|(xyFY|XdvxfvxfyX)(),()|(yxFX|YduyfyufxY)(),(条件分布函数若对固定的x,fX(x)0,则称为在Y=y的条件下X的条件概率密度；例2设(X,Y)的联合概率密度如下，其它xyxxyyxf2,0,24),(其它,10,0,242xdyxyxx其它xyxxxy222,0,)1(2对于任意给定的值x(0x1),在X=x条件下,有OdyyxfxfX),()(11解求条件概率密度.其它,10,0),1(1223xxx)(),()|(|xfyxfxyfXXYxyyx其它,10,0,24ydxxyyy其它yxyyyxyfyxfyxfYYX,0,2)(),()|(2|对于y(0y1),在Y=y条件下,有dxyxfyfY),()(其它,10,0),(122yyyy特别：在Y=y=1/2条件下,有其它2121,0,8)(),()|(|xxyfyxf