概率统计期末复习知识点汇总

概率论与数理统计期末复习知识点汇总数学学院李俊领概率论与数理统计③分配律④摩根律①交换律②结合律1.事件的运算法则数学学院李俊领概率论与数理统计0P有限可加性1212kkPAAAPAPAPA两两互不相容。2.概率的性质（顺序论证及图示说明）如果则①PA≤PB②PBAPBPA01PA,AAS，PABPAPBPAB(加法公式),()1()ASPAPA排列组合及古典概型计算公式!()!mmnnnPAnmkAPAnS中基本事件数中基本事件总数定理设，则有推广乘法公式推广到n个事件，如果,0)(121nAAAP则有()0PA()()(|)PABPAPBA()()(|)PABPBPAB，则有或()0PB()()(|)(|),PABCPAPBAPCAB其中()0PAB121211122121()()(|)(|)(|)nnnnnPAAAPAPAAPAAAAPAAAA公式作用：将复杂事件查分成若干步，每一步都是一个小事件。则1122()(|)()(|)()(|)()nnPAPABPBPABPBPABPB1(|)(=)iiniPABPB定理1设试验E的样本空间为S，A为E的事件，12,,,nBBB为S的一个划分且()0,1,2,,iPBin证明请看教材P17定理1全概公式名称来由:“全”部概率P(A)被分解成了许多部分之和。12,,,nBBB设随机试验E的样本空间为S,A为E的任意一个事件,为S的一个划分,且则称此式为贝叶斯公式。已知“结果”找“原因”1(|)()(|)(|)()iiiniiiPABPBPBAPABPB()0,PA()0,(1,2,,),iPBin(1,2,,)in贝叶斯公式定义1设A、B是两个事件，如果则称事件A、B相互独立。两事件相互独立设A、B是两个事件⑴若，则A、B相互独立的充要条件()()()PABPAPB()0PA(|)()PBAPB⑵若A、B相互独立,则A,BA,BA,B都相互独立。与与与定理伯努利定理(P24)n重伯努利试验中,“事件恰好发生k次,即的概率为：X表示n重伯努利试验中A发生的次数。它是一个随机变量。定义.若随机变量的分布律为则称服从参数为其中的二项分布，记为证二项式定理特别:当时,二项分布为这就是（0—1）分布，常记为二项分布（BINOMIALDISTRIBUTION）定义.设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…且概率分布为：{},0,1,2,,!LLkPXkekkll-===泊松分布X其中0l，则称服从参数为l的泊松分布，记~().Xpl12xx若分布函数的性质⑴单调性：()lim()0,xFFx(0)lim()().txFxFtFx⑶右连续性：⑵归一性：,0()1XFx对任意实数，且，则12()()FxFx具有上述性质的实函数必是某个随机变量的分布函数该性质是分布函数的充分必要性质。()lim()1;xFFx若随机变量X的概率密度为：000xexfxx则称随机变量X服从参数为λ的指数分布。其中参数λ(0)为常数，()fxx0概率密度的图形1.指数分布记作：1000xexFxx，，，，定义若随机变量X的概率密度为：则称X服从区间[a,b]上的均匀分布.1bax)(xfab1,()0,axbfxba其它~[,]XUab2.均匀分布记作定义1设连续型随机变量X的概率密度为22()21(),2xfxex其中,(0)为常数，则称X服从参数为,的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为2~(,)XN定义2当0,1时，X的概率密度为221()(),2xxfxex则称X服从标准正态分布，记为~(0,1)XNⅠ.正态分布定义定理设⑴随机变量X的概率密度()Xfx(2)()ygx处处可导,且严格单调则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为(())()()Xfhy||,αyβ=0,othersYhyfy其中h(y)是g(x)的反函数，α与β具体确定。注：⑴g(x)是x的严格单调可导函数，才可公式；⑵注意定义域的选择。公式法求随机变量函数的分布二维随机变量的密度函数性质1非负性2规范性3可导性4几何意义0()fx1()fxdx()()Fxfx2112{X}()xxPxxfxdx(,)0fxy(,)1fxydxdy2(,)(,)Fxyfxyxy{(,)}(,)GPXYGfxydxdy),(YX的分布律和边缘分布律连续型随机变量的边缘概率密度定理设),(YX),(yxf是则)(xfXdyyxf),(dxyxfyfY),()(联合密度函数，分别是),(YX关于X和Y的边缘概率密度。如何证明？均有),(YXyx,{,}{}{}⑴PXxYyPXxPYyXY与定义1若二维随机变量对任意的实数成立，则称随机变量是相互独立的。)()(),(yFxFyxFYX即1)离散型随机变量X与Y相互独立的充要条件：},{jiyYxXPji,}{}{jiyYPxXP2)连续型随机变量X与Y相互独立的充要条件：)()(),(yfxfyxfYX几乎处处成立。两个随机变量的独立性特别地,当X与Y相互独立时,有()()()ZXYfzfzyfydy()()()ZXYfzfxfzxdx上式称为XYff与的卷积公式记为XYff和分布及卷积公式(随机变量相互独立）()()XYFxFy和X和Y的分布函数(){}{max(,)}MFzPMzPXYz解max(,)MXY的分布函数为{,}PXzYzM=MAX(X,Y)，推广当12,,nXXX独立同分布时，随机变量()[()],nMXFzFz12max(,,),nMXXX推广当12,,nXXX独立同分布时，随机变量()1[1()]nNXFzFz12min(,,)nNXXX的分布函数为N=MIN(X,Y)的分布(){min(,)}NFzPXYz1{min(,)}PXYz1{}{}PXzPYz1[1()][1()]XYFzFz1.设C是常数，则E(C)=C;2.若C是常数，则E(CX)=CE(X);3.()()()EXYEXEYniiniiXEXE11)(][:推广数学期望的性质4.设X、Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y);5、**222[()]()()EXYEXEY其算术平方根为X的方差。记为D(X)或Var(X)。定义设X是一个随机变量，若则称2{[()]}EXEX为均方差或标准差。2{[()]}EXEX存在，记为21()[()]iiiDXxEXp2()[()]()DXxEXfxdx离散型连续型()DX()X方差方差计算公式：方差性质1.设C是常数,则D(C)=0;2.若C是常数,则D(CX)=C2D(X);3.设X为随机变量，a,b为常数，则有4.若X与Y独立，则()+()DXYDXDY2111()()nnniiiiiiiiiDCXDCXCDX()()()EXYEXEY⑴⑵),(YXCov()()()2(,)DXYDXDYCovXY计算公式(,){[()][()]}CovXYEXEXYEY定义设二维随机变量),(YX),(YXCov则称其为X与Y的协方差(covariance)，)]}([)]({[YEYXEXE若存在，记为)()(),(YDXDYXCovXY称为随机变量X与Y的相关系数(correlationcoefficient)。1、(,)(,)CovXYCovYX(,)(,),,CovaXbYabCovYXab为常数2、二、协方差的性质),(})]()][({[)]}([)]({[),(XYCovXEXYEYEYEYXEXEYXCov),(})]()][({[})]([)]([{)]}([)]({[),(YXabCovYEYXEXabEYEYbXEXaEbYEbYaXEaXEbYaXCov3、1212(,)(,)(,)CovXXYCovXYCovXY12(,)CovXXY证：(,)()CovXXDX4、5、若X或Y中任何一个为常数，则CovXY(,)01XY1)1{}1XYPYaXb2)充要条件是X与Y以概率1成线性关系即相关系数的绝对值为1的ba,)0(a其中为常数，定理1设随机变量X和Y的相关系数存在，则三、相关系数的性质直观理解：可以计算随机变量X与随机变量Y=aX+b之间的相关系数。2）(,)0;CovXY()()();EXYEXEY3）()()().DXYDXDY4）,0XY定义、相关系数XY则称与不相关;下列命题等价：,0XY1）独立不相关注：,02(){|()|}DXPXEX2(){|()|}1DXPXEX有则对任意2()EXDX,（）设随机变量X的数学期望与方差都存在切比雪夫CHEBYSHEV不等式常见大数定律定理1（切比雪夫大数定律）11lim{||}1niniPXn则即对任意的ε0，设X1,X2,…是一列相互独立的随机变量序列，具有相同的数学期望2()iiEXDX和方差（）11.nPiiXn其取值接近于其数学期望的概率接近于1.注：当n充分大时，niiXn11差不多不再是随机的了，定理2（辛钦定律）且具有相同的数学期望辛钦设随机变量序列X1,X2,…独立同分布，则(),1,2,iEXi11lim{||}1niniPXn辛钦大数定律中，随机变量的方差可以不存在，只要独立同分布就可以了。比较和定理1的条件有什么不同？定理1（林德伯格-莱维LINDBERG-LEVY）其期望和方差都存在2,0,1,2,,.kkEXDXkn则对于任意实数x有,设独立同分布，12,,,,nXXX1lim()niinXnPxxn1920年，G.波利亚称之为:独立同分布随机变量序列的中心极限定理。定理2（棣莫佛-拉普拉斯定理）DEMOIVRE-LAPLACElim{}(1)nnnpPxnppdtext2221n设随机变量服从参数为10,ppn的二项分布则对任意的，有x~(,(1))nNnpnpp近似即或~(0,1)(1)nnpNnpp近似1、样本k阶原点矩2、样本k阶中心矩1112,,nkkiiAXkn1112(),,nkkiiBXXkn111,niiAXXn反映总体k阶矩信息两类统计量2211()niiBXXn设nXXX,,,21是总体X的一个样本：证明样本12,,,nXXX相互独立且与X同分布,则12,,,kkknXXX相互独立且与kX同分布由辛钦定理11nPkikiXn即.PkkAE(Ak)=E(Xk)，pkkA设12nXXX，，，是来自总体X的一个样本，总体的k阶矩(k=1,2,…m)存在，证明：例1证明样本12,,,nXXX相互独立且与X同分布,则12,,,kkknXXX相互独立且与kX同分布由辛钦定理11nPkikiXn即.PkkAE(Ak)=E(Xk)，pkkA设12nXXX，，，是来自总体X的一个样本，总体的k阶矩(k=1,2,…m)存在，证明：例1)(~22n记为nXXX,,,21222212~nXXX定理1.设相互独立,都服从正态分布N(0,1),则称随